複素数 $\sqrt{5}(1-i)$ を極形式で表す問題。

1. 問題の内容

複素数 $\sqrt{5}(1-i)$ を極形式で表す問題。

2. 解き方の手順

まず、与えられた複素数を $z = \sqrt{5}(1-i) = \sqrt{5} - \sqrt{5}i$ とおく。

次に、複素数の絶対値 $r$ を求める。

$r = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + (-\sqrt{5})^2} = \sqrt{5 + 5} = \sqrt{10}$

次に、偏角 $\theta$ を求める。$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin \theta = \frac{-\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\theta$ を探す。

$\theta$ は第4象限の角であり、$\theta = -\frac{\pi}{4}$ である。

したがって、複素数 $z$ の極形式は、

$z = \sqrt{10} (\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$ となる。

$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

したがって、複素数は $\sqrt{10} (\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{5} - i\sqrt{5}$ となる。

3. 最終的な答え

$\sqrt{10} \left( \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) \right)$

あるいは

$\sqrt{10} \left( \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right) \right)$