2つの円 $C: x^2 + y^2 = 13$ と $C': x^2 + y^2 - 8x + 14y + 13 = 0$ の交点と点 $A(0,1)$ を通る円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの円 $C: x^2 + y^2 = 13$ と $C': x^2 + y^2 - 8x + 14y + 13 = 0$ の交点と点 $A(0,1)$ を通る円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

円 $C$ と円 $C'$ の交点を通る円の方程式は、実数 $k$ を用いて

$$x^2 + y^2 - 13 + k(x^2 + y^2 - 8x + 14y + 13) = 0$$

と表すことができます。

この円が点 $A(0,1)$ を通るので、この式に $x=0$, $y=1$ を代入すると、

$$0^2 + 1^2 - 13 + k(0^2 + 1^2 - 8(0) + 14(1) + 13) = 0$$

$$1 - 13 + k(1 + 14 + 13) = 0$$

$$-12 + 28k = 0$$

$$28k = 12$$

$$k = \frac{12}{28} = \frac{3}{7}$$

これを円の方程式に代入すると、

$$x^2 + y^2 - 13 + \frac{3}{7}(x^2 + y^2 - 8x + 14y + 13) = 0$$

両辺に7をかけて、

$$7(x^2 + y^2 - 13) + 3(x^2 + y^2 - 8x + 14y + 13) = 0$$

$$7x^2 + 7y^2 - 91 + 3x^2 + 3y^2 - 24x + 42y + 39 = 0$$

$$10x^2 + 10y^2 - 24x + 42y - 52 = 0$$

両辺を2で割って、

$$5x^2 + 5y^2 - 12x + 21y - 26 = 0$$

3. 最終的な答え

$5x^2 + 5y^2 - 12x + 21y - 26 = 0$