全体集合$U$を1から20までの自然数全体の集合とする。 部分集合$A = \{2n+1 | nは自然数\}$、$B = \{3n | nは自然数\}$が与えられたとき、以下の2つの問いに答える。 (1) 集合$A \cap B$を要素を書き並べて表せ。 (2) $C \subset A \cap B$となる集合$C$は、空集合も含めて何通り考えられるか。

1. 問題の内容

全体集合$U$を1から20までの自然数全体の集合とする。

部分集合$A = \{2n+1 | nは自然数\}$、$B = \{3n | nは自然数\}$が与えられたとき、以下の2つの問いに答える。

(1) 集合$A \cap B$を要素を書き並べて表せ。

(2) $C \subset A \cap B$となる集合$C$は、空集合も含めて何通り考えられるか。

2. 解き方の手順

(1) まず、$A$と$B$の要素をそれぞれ書き出す。

$A = \{3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19\}$

$B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}$

$A \cap B$は、$A$と$B$の両方に含まれる要素の集合なので、

$A \cap B = \{3, 9, 15\}$

(2) $C \subset A \cap B$となる集合$C$は、$A \cap B$の部分集合である。

$A \cap B$の要素数は3である。

部分集合の個数は、$2^{\text{要素数}}$で求められる。

したがって、$A \cap B$の部分集合の個数は$2^3 = 8$個である。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{3, 9, 15\}$

(2) 8通り