全体集合$U = \{1, 2, 3, ..., 12\}$、集合Aは12の約数の集合、集合Bは8の約数の集合とする。以下の集合を要素を書き並べて表す。 (1) $A \cup B$ (2) $A \cup \overline{B}$ (3) $\overline{A \cup B}$ (4) $\overline{A \cap B}$

1. 問題の内容

全体集合$U = \{1, 2, 3, ..., 12\}$、集合Aは12の約数の集合、集合Bは8の約数の集合とする。以下の集合を要素を書き並べて表す。

(1) $A \cup B$

(2) $A \cup \overline{B}$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $\overline{A \cap B}$

2. 解き方の手順

まず、集合Aと集合Bを求める。

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

B = {1, 2, 4, 8}

次に、各問いについて計算する。

(1) $A \cup B$ はAとBの和集合なので、AとBの要素をすべて含み、重複する要素は一つにする。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12\}$

(2) $\overline{B}$ はBの補集合なので、Uの中でBに含まれない要素の集合である。

$\overline{B} = \{3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12\}$

$A \cup \overline{B}$ はAと$\overline{B}$の和集合なので、Aと$\overline{B}$の要素をすべて含み、重複する要素は一つにする。

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12\}$

(3) $\overline{A \cup B}$ は$A \cup B$の補集合なので、Uの中で$A \cup B$に含まれない要素の集合である。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12\}$ (上記(1)の結果)

$\overline{A \cup B} = \{5, 7, 9, 10, 11\}$

(4) $\overline{A \cap B}$ を求める。まず、$A \cap B$ を求める。これはAとBの共通部分なので、AとBの両方に含まれる要素の集合である。

$A \cap B = \{1, 2, 4\}$

$\overline{A \cap B}$ は$A \cap B$の補集合なので、Uの中で$A \cap B$に含まれない要素の集合である。

$\overline{A \cap B} = \{3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12\}$

(2) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12\}$

(3) $\overline{A \cup B} = \{5, 7, 9, 10, 11\}$

(4) $\overline{A \cap B} = \{3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$