以下の3つの命題を証明する問題です。 (1) $a, b$ が3の倍数ならば、$a + 2b$ も3の倍数である。 (2) $a, a-b$ が7の倍数ならば、$b$ も7の倍数である。 (3) $a, b$ が2の倍数ならば、$a^2 + b^2$ は4の倍数である。

## 解答

1. 問題の内容

以下の3つの命題を証明する問題です。

(1) $a, b$ が3の倍数ならば、$a + 2b$ も3の倍数である。

(2) $a, a-b$ が7の倍数ならば、$b$ も7の倍数である。

(3) $a, b$ が2の倍数ならば、$a^2 + b^2$ は4の倍数である。

2. 解き方の手順

(1) $a, b$ が3の倍数であるという仮定から、$a = 3k, b = 3l$ (k, lは整数)と表せる。

よって、$a + 2b = 3k + 2(3l) = 3k + 6l = 3(k + 2l)$。

$k + 2l$ は整数なので、$a + 2b$ は3の倍数である。

(2) $a, a-b$ が7の倍数であるという仮定から、$a = 7k, a-b = 7l$ (k, lは整数)と表せる。

$a - b = 7l$ より、$7k - b = 7l$。

よって、$b = 7k - 7l = 7(k - l)$。

$k - l$ は整数なので、$b$ は7の倍数である。

(3) $a, b$ が2の倍数であるという仮定から、$a = 2k, b = 2l$ (k, lは整数)と表せる。

よって、$a^2 + b^2 = (2k)^2 + (2l)^2 = 4k^2 + 4l^2 = 4(k^2 + l^2)$。

$k^2 + l^2$ は整数なので、$a^2 + b^2$ は4の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) $a, b$ が3の倍数ならば、$a + 2b$ も3の倍数である。 (証明完了)

(2) $a, a-b$ が7の倍数ならば、$b$ も7の倍数である。 (証明完了)

(3) $a, b$ が2の倍数ならば、$a^2 + b^2$ は4の倍数である。 (証明完了)