整数$a, b$があり、$a$を8で割ると余りが4、$b$を8で割ると余りが5であるとき、次の数を8で割ったときの余りを求めます。 (1) $a+b$ (2) $a-b$ (3) $5a+4b$ (4) $ab$ (5) $a^2+b^2$ (6) $2a^2-3b^2$ (7) $ab^2$

1. 問題の内容

整数$a, b$があり、$a$を8で割ると余りが4、$b$を8で割ると余りが5であるとき、次の数を8で割ったときの余りを求めます。

(1) $a+b$

(2) $a-b$

(3) $5a+4b$

(4) $ab$

(5) $a^2+b^2$

(6) $2a^2-3b^2$

(7) $ab^2$

2. 解き方の手順

$a$を8で割ると余りが4なので、$a = 8k + 4$ ($k$は整数)と表せます。

$b$を8で割ると余りが5なので、$b = 8l + 5$ ($l$は整数)と表せます。

各々について計算していきます。

(1) $a+b = (8k+4) + (8l+5) = 8k + 8l + 9 = 8(k+l+1) + 1$

よって、余りは1です。

(2) $a-b = (8k+4) - (8l+5) = 8k - 8l - 1 = 8(k-l-1) + 7$

よって、余りは7です。

(3) $5a+4b = 5(8k+4) + 4(8l+5) = 40k + 20 + 32l + 20 = 40k + 32l + 40 = 8(5k + 4l + 5)$

よって、余りは0です。

(4) $ab = (8k+4)(8l+5) = 64kl + 40k + 32l + 20 = 8(8kl + 5k + 4l + 2) + 4$

よって、余りは4です。

(5) $a^2+b^2 = (8k+4)^2 + (8l+5)^2 = 64k^2 + 64k + 16 + 64l^2 + 80l + 25 = 64k^2 + 64k + 64l^2 + 80l + 41 = 8(8k^2 + 8k + 8l^2 + 10l + 5) + 1$

よって、余りは1です。

(6) $2a^2-3b^2 = 2(8k+4)^2 - 3(8l+5)^2 = 2(64k^2 + 64k + 16) - 3(64l^2 + 80l + 25) = 128k^2 + 128k + 32 - 192l^2 - 240l - 75 = 128k^2 + 128k - 192l^2 - 240l - 43 = 8(16k^2 + 16k - 24l^2 - 30l - 6) + 5$

よって、余りは5です。

(7) $ab^2 = (8k+4)(8l+5)^2 = (8k+4)(64l^2+80l+25) = 512kl^2 + 640kl + 200k + 256l^2 + 320l + 100 = 8(64kl^2 + 80kl + 25k + 32l^2 + 40l + 12) + 4$

よって、余りは4です。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 7

(3) 0

(4) 4

(5) 1

(6) 5

(7) 4