座標平面上の点 $P(x, y)$ が曲線 $C$ 上を動き、$x, y$ が時刻 $t$ の関数として $x = 3(t - \sin t)$, $y = 3(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) で表される。 (1) $t = \frac{\pi}{2}$ のときの点 $P$ の座標、および点 $P$ における $C$ の接線の傾きとその $y$ 切片を求める。 (2) 曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める。 (3) 時刻 $t$ における点 $P$ の速さ、速さが最大となるときの点 $P$ の座標、および点 $P$ の加速度の大きさを求める。

1. 問題の内容

座標平面上の点 $P(x, y)$ が曲線 $C$ 上を動き、$x, y$ が時刻 $t$ の関数として $x = 3(t - \sin t)$, $y = 3(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) で表される。

(1) $t = \frac{\pi}{2}$ のときの点 $P$ の座標、および点 $P$ における $C$ の接線の傾きとその $y$ 切片を求める。

(2) 曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める。

(3) 時刻 $t$ における点 $P$ の速さ、速さが最大となるときの点 $P$ の座標、および点 $P$ の加速度の大きさを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$t = \frac{\pi}{2}$ のとき

$x = 3(\frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{2}) = 3(\frac{\pi}{2} - 1) = \frac{3}{2}\pi - 3$

$y = 3(1 - \cos \frac{\pi}{2}) = 3(1 - 0) = 3$

よって、点 $P$ の座標は $(\frac{3}{2}\pi - 3, 3)$。

次に、$\frac{dx}{dt} = 3(1 - \cos t)$, $\frac{dy}{dt} = 3\sin t$ より

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3\sin t}{3(1 - \cos t)} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$

$t = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{1 - \cos \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{1 - 0} = 1$

よって、接線の傾きは $1$。

接線の方程式は $y - 3 = 1(x - (\frac{3}{2}\pi - 3))$ より $y = x - \frac{3}{2}\pi + 6$

$y$ 切片は $-\frac{3}{2}\pi + 6$。

(2)

$C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は

$\int_0^{6\pi} y dx = \int_0^{2\pi} 3(1 - \cos t) \cdot 3(1 - \cos t) dt = 9 \int_0^{2\pi} (1 - \cos t)^2 dt = 9 \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos t + \cos^2 t) dt$

$= 9 \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2}) dt = 9 \int_0^{2\pi} (\frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2}\cos 2t) dt$

$= 9[\frac{3}{2}t - 2\sin t + \frac{1}{4}\sin 2t]_0^{2\pi} = 9(\frac{3}{2}(2\pi) - 0 + 0) = 9(3\pi) = 18\pi$

(3)

速さ $v = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{(3(1 - \cos t))^2 + (3\sin t)^2} = \sqrt{9(1 - 2\cos t + \cos^2 t) + 9\sin^2 t}$

$= \sqrt{9(1 - 2\cos t + 1)} = \sqrt{18 - 18\cos t} = 3\sqrt{2(1 - \cos t)} = 3\sqrt{2 \cdot 2\sin^2 \frac{t}{2}} = 6|\sin \frac{t}{2}|$

$0 \le t \le 2\pi$ より $0 \le \frac{t}{2} \le \pi$ なので $|\sin \frac{t}{2}| = \sin \frac{t}{2}$

よって $v = 6\sin \frac{t}{2}$。

速さが最大となるのは $\sin \frac{t}{2} = 1$ のときなので $\frac{t}{2} = \frac{\pi}{2}$ より $t = \pi$。

このとき $x = 3(\pi - \sin \pi) = 3\pi$, $y = 3(1 - \cos \pi) = 3(1 - (-1)) = 6$

よって、点 $P$ の座標は $(3\pi, 6)$。

$\frac{d^2 x}{dt^2} = 3\sin t$, $\frac{d^2 y}{dt^2} = 3\cos t$

加速度の大きさ $a = \sqrt{(\frac{d^2 x}{dt^2})^2 + (\frac{d^2 y}{dt^2})^2} = \sqrt{(3\sin t)^2 + (3\cos t)^2} = \sqrt{9(\sin^2 t + \cos^2 t)} = \sqrt{9} = 3$。

3. 最終的な答え

(1)

点 $P$ の座標: $(\frac{3}{2}\pi - 3, 3)$

接線の傾き: $1$

$y$ 切片: $-\frac{3}{2}\pi + 6$

(2)

面積: $18\pi$

(3)

速さ: $6 \sin \frac{t}{2}$

座標: $(3\pi, 6)$

加速度の大きさ: $3$