数列$\{a_n\}$は等差数列, $\{b_n\}$は公比が正の等比数列で、$a_1 = 1, b_1 = 3, a_2 + 2b_2 = 21, a_4 + 2b_4 = 169$を満たすとき、以下の問いに答えよ。 (1) 一般項$a_n, b_n$を求めよ。 (2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_k}$を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$は等差数列, $\{b_n\}$は公比が正の等比数列で、$a_1 = 1, b_1 = 3, a_2 + 2b_2 = 21, a_4 + 2b_4 = 169$を満たすとき、以下の問いに答えよ。

(1) 一般項$a_n, b_n$を求めよ。

(2) $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_k}$を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

等差数列$\{a_n\}$の公差を$d$、等比数列$\{b_n\}$の公比を$r$とする。

$a_n = a_1 + (n-1)d$、 $b_n = b_1 r^{n-1}$である。

$a_1 = 1$より、$a_n = 1 + (n-1)d$

$b_1 = 3$より、$b_n = 3r^{n-1}$

与えられた条件から、

$a_2 + 2b_2 = 21$ より、 $(1+d) + 2(3r) = 21$ よって、 $d + 6r = 20$ ...(1)

$a_4 + 2b_4 = 169$ より、 $(1+3d) + 2(3r^3) = 169$ よって、$3d + 6r^3 = 168$ $d + 2r^3 = 56$ ...(2)

(2) - (1) より、

$2r^3 - 6r = 36$

$r^3 - 3r = 18$

$r^3 - 3r - 18 = 0$

$(r-3)(r^2 + 3r + 6) = 0$

$r$は実数なので、$r=3$

(1)に代入して、$d + 6(3) = 20$ より、$d = 2$

したがって、$a_n = 1 + (n-1)(2) = 2n - 1$

$b_n = 3(3^{n-1}) = 3^n$

(2)

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{3^k} = 2 \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{3^k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^k}$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^k} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$

$T = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{3^k} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + ... + \frac{n}{3^n}$

$\frac{1}{3}T = \frac{1}{3^2} + \frac{2}{3^3} + ... + \frac{n-1}{3^n} + \frac{n}{3^{n+1}}$

$T - \frac{1}{3}T = \frac{2}{3}T = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^n} - \frac{n}{3^{n+1}}$

$\frac{2}{3}T = \frac{\frac{1}{3}(1 - \frac{1}{3^n})}{\frac{2}{3}} - \frac{n}{3^{n+1}} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^{n+1}}$

$T = \frac{3}{4}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{3n}{2 \cdot 3^{n+1}} = \frac{3}{4} - \frac{3}{4 \cdot 3^n} - \frac{n}{2 \cdot 3^n} = \frac{3}{4} - \frac{3+2n}{4 \cdot 3^n}$

$S_n = 2T - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^k} = 2(\frac{3}{4} - \frac{3+2n}{4 \cdot 3^n}) - \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) = \frac{3}{2} - \frac{3+2n}{2 \cdot 3^n} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 3^n} = 1 - \frac{2+2n}{2 \cdot 3^n} = 1 - \frac{1+n}{3^n}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n-1$, $b_n = 3^n$

(2) $S_n = 1 - \frac{n+1}{3^n}$