中心が $(2, -3)$、長軸が x 軸方向、長軸の長さが 8、短軸の長さが 6 の楕円の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

中心が $(2, -3)$、長軸が x 軸方向、長軸の長さが 8、短軸の長さが 6 の楕円の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

楕円の中心を $(h, k)$、長軸の長さを $2a$、短軸の長さを $2b$ とすると、楕円の方程式は次のようになります。

長軸が x 軸方向の場合:

$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$

問題文より、中心は $(2, -3)$ なので、$h = 2$, $k = -3$ です。

長軸の長さが 8 なので、$2a = 8$, よって $a = 4$ です。

短軸の長さが 6 なので、$2b = 6$, よって $b = 3$ です。

これらの値を楕円の方程式に代入すると、

$\frac{(x-2)^2}{4^2} + \frac{(y-(-3))^2}{3^2} = 1$

$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+3)^2}{9} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+3)^2}{9} = 1$