## 問題の解説

## 問題の解説

1辺の長さが1の正方形 $S_1$ があり、それに内接する円を $C_1$ とします。$C_1$ に内接する正方形を $S_2$ とし、$S_2$ に内接する円を $C_2$ とします。以下同様に、自然数 $n$ に対して、正方形 $S_n$ と円 $C_n$ を定義します。このとき、次の問いに答えます。

(1) $S_n$ の一辺の長さを $l_n$ とするとき、$C_n$ の半径を $l_n$ で表せ。

(2) 数列 $\{l_n\}$ の一般項を求めよ。

(3) $S_n$ の内部から $C_n$ の内部を除いた部分の面積を $a_n$ とするとき、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ を求めよ。

## 解き方の手順

(1) $S_n$ の一辺の長さを $l_n$ とすると、$S_n$ に内接する円 $C_n$ の半径は、正方形の一辺の半分の長さになるので、

$C_n$ の半径 $= \frac{l_n}{2}$

(2) 正方形 $S_{n+1}$ は円 $C_n$ に内接するので、$S_{n+1}$ の対角線の長さは $C_n$ の直径に等しくなります。したがって、$S_{n+1}$ の一辺の長さ $l_{n+1}$ と $C_n$ の半径 $\frac{l_n}{2}$ の間には次の関係が成り立ちます。

$\sqrt{2} l_{n+1} = 2 \cdot \frac{l_n}{2} = l_n$

よって、

$l_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{2}} l_n$

これは、数列 $\{l_n\}$ が公比 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の等比数列であることを示しています。初項は $l_1 = 1$ なので、一般項は次のようになります。

$l_n = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-1} = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{n-1}$

(3) $S_n$ の面積は $l_n^2$ であり、$C_n$ の面積は $\pi (\frac{l_n}{2})^2$ なので、$a_n$ は次のようになります。

$a_n = l_n^2 - \pi \left( \frac{l_n}{2} \right)^2 = l_n^2 - \frac{\pi}{4} l_n^2 = \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) l_n^2$

$l_n = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-1}$ を代入すると、

$a_n = \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2(n-1)} = \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ は初項 $1 - \frac{\pi}{4}$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列の和になります。

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{1 - \frac{\pi}{4}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left( 1 - \frac{\pi}{4} \right) = 2 - \frac{\pi}{2}$

## 最終的な答え

(1) $C_n$ の半径 $= \frac{l_n}{2}$

(2) $l_n = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^{n-1}$

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = 2 - \frac{\pi}{2}$