与えられた画像の問題は、根号を含む式を簡単にすることです。具体的には、以下の3つの問題を解きます。 (1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ (2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ (3) $\sqrt{2+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた画像の問題は、根号を含む式を簡単にすることです。具体的には、以下の3つの問題を解きます。

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{2+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{7+2\sqrt{10}}$ の場合：

まず、$7+2\sqrt{10}$ を $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ の形にすることを考えます。

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$ となります。

$a+b=7$ かつ $ab=10$ を満たす $a$ と $b$ を探します。

$a=5, b=2$ が条件を満たします。

よって、 $\sqrt{7+2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ の場合：

まず、$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$ と変形します。

次に、$12-2\sqrt{27}$ を $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$ の形にすることを考えます。

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a+b-2\sqrt{ab}$ となります。

$a+b=12$ かつ $ab=27$ を満たす $a$ と $b$ を探します。

$a=9, b=3$ が条件を満たします。

よって、 $\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{3})^2} = \sqrt{(3-\sqrt{3})^2} = 3-\sqrt{3}$

(3) $\sqrt{2+\sqrt{3}}$ の場合：

$\sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$ と変形します。

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ を $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$ の形にすることを考えます。

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+b+2\sqrt{ab}$ となります。

$a+b=4$ かつ $ab=3$ を満たす $a$ と $b$ を探します。

$a=3, b=1$ が条件を満たします。

よって、 $\frac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{1})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+1)\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5}+\sqrt{2}$

(2) $3-\sqrt{3}$

(3) $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$