三角形ABCにおいて、与えられた条件から指定された辺の長さや角度を求めよという問題です。今回は、以下の3つの問題について解を求めます。 * 問題1: $b=2$, $c=2\sqrt{3}$, $A=30^\circ$のとき、$a$ * 問題2: $a=\sqrt{2}$, $c=5$, $B=135^\circ$のとき、$b$ * 問題3: $a=\sqrt{6}$, $b=1+\sqrt{3}$, $C=45^\circ$のとき、$c$

はい、承知いたしました。指定された形式で、与えられた三角関数の問題を解きます。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、与えられた条件から指定された辺の長さや角度を求めよという問題です。今回は、以下の3つの問題について解を求めます。

* 問題1: $b=2$, $c=2\sqrt{3}$, $A=30^\circ$のとき、$a$

* 問題2: $a=\sqrt{2}$, $c=5$, $B=135^\circ$のとき、$b$

* 問題3: $a=\sqrt{6}$, $b=1+\sqrt{3}$, $C=45^\circ$のとき、$c$

2. 解き方の手順

* 問題1: 余弦定理を利用します。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$a^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2(2)(2\sqrt{3})\cos 30^\circ$

$a^2 = 4 + 12 - 8\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 16 - 12 = 4$

$a = \sqrt{4} = 2$ (a>0なので)

* 問題2: 余弦定理を利用します。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

$b^2 = (\sqrt{2})^2 + 5^2 - 2(\sqrt{2})(5)\cos 135^\circ$

$b^2 = 2 + 25 - 10\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$b^2 = 27 + 10 = 37$

$b = \sqrt{37}$ (b>0なので)

* 問題3: 余弦定理を利用します。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

$c^2 = (\sqrt{6})^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2(\sqrt{6})(1+\sqrt{3})\cos 45^\circ$

$c^2 = 6 + (1+2\sqrt{3}+3) - 2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 10 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3}(2+2\sqrt{3})$

$c^2 = 10 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 6$

$c^2 = 4$

$c = \sqrt{4} = 2$ (c>0なので)

3. 最終的な答え

* 問題1: $a=2$

* 問題2: $b=\sqrt{37}$

* 問題3: $c=2$