複素数平面上の3点A(-1+i), B(3-i), C(x+3i)が与えられている。ただし、$x$は実数である。 (1) 直線ABとACが垂直に交わるように、$x$の値を定める。 (2) 3点A, B, Cが一直線上にあるように、$x$の値を定める。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点A(-1+i), B(3-i), C(x+3i)が与えられている。ただし、$x$は実数である。

(1) 直線ABとACが垂直に交わるように、$x$の値を定める。

(2) 3点A, B, Cが一直線上にあるように、$x$の値を定める。

2. 解き方の手順

(1) 直線ABとACが垂直に交わる条件を考える。これは、$\frac{c-a}{b-a}$ が純虚数となることを意味する。

$a = -1+i, b = 3-i, c = x+3i$より、

$b-a = (3-(-1)) + (-1-1)i = 4 - 2i$

$c-a = (x-(-1)) + (3-1)i = (x+1) + 2i$

$\frac{c-a}{b-a} = \frac{(x+1)+2i}{4-2i} = \frac{((x+1)+2i)(4+2i)}{(4-2i)(4+2i)} = \frac{4(x+1) - 4 + (2(x+1)+8)i}{16+4} = \frac{4x + (2x+10)i}{20} = \frac{x}{5} + \frac{x+5}{10}i$

これが純虚数であるためには、実部が0でなければならない。

$\frac{x}{5} = 0$

$x=0$

このとき、虚部は$\frac{0+5}{10} = \frac{1}{2}$ となり、0ではない。

(2) 3点A, B, Cが一直線上にある条件を考える。これは、$\frac{c-a}{b-a}$ が実数となることを意味する。

$\frac{c-a}{b-a} = \frac{x}{5} + \frac{x+5}{10}i$

これが実数であるためには、虚部が0でなければならない。

$\frac{x+5}{10} = 0$

$x+5 = 0$

$x = -5$

このとき、実部は$\frac{-5}{5} = -1$ となり、0ではない。

3. 最終的な答え

(1) $x=0$

(2) $x=-5$