与えられた数列の和を計算する問題です。 数列は $1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$ で表されます。この和を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算する問題です。

数列は $1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$ で表されます。この和を求める必要があります。

2. 解き方の手順

この数列の和を $S$ とおきます。

$S = 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

次に、両辺に3をかけます。

$3S = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + 4 \cdot 3^4 + \cdots + n \cdot 3^{n}$

$S$ から $3S$ を引きます。

$S - 3S = (1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^{n})$

$-2S = 1 + (2 \cdot 3 - 1 \cdot 3) + (3 \cdot 3^2 - 2 \cdot 3^2) + (4 \cdot 3^3 - 3 \cdot 3^3) + \cdots + (n \cdot 3^{n-1} - (n-1) \cdot 3^{n-1}) - n \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

$1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{n-1}$ は初項1、公比3、項数 $n$ の等比数列の和なので、

$1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

よって、

$-2S = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$-2S = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2}$

$S = \frac{2n \cdot 3^n - 3^n + 1}{(-2) \cdot (-2)} = \frac{(2n - 1)3^n + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{(2n - 1)3^n + 1}{4}$