与えられた式 $2x^2 - xy - 3y^2 - 3x + 7y - 2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - xy - 3y^2 - 3x + 7y - 2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$について整理します。

$2x^2 - (y+3)x - (3y^2 - 7y + 2)$

次に、定数項 $3y^2 - 7y + 2$ を因数分解します。

$3y^2 - 7y + 2 = (3y - 1)(y - 2)$

したがって、

$2x^2 - (y+3)x - (3y - 1)(y - 2)$

を因数分解することを考えます。

$(2x + ay + b)(x + cy + d)$ の形になると仮定すると、

$2x^2 + (2c+a)xy + acy^2 + (2d+b)x + (ad+bc)y + bd$

上記の式と $2x^2 - (y+3)x - (3y^2 - 7y + 2)$ を比較すると

$ac = -3$

$2c+a = -1$

$bd = -2$

$2d+b = -3$

$ad+bc = 7$

$a = -3, c = 1$ の場合、$2(1)+(-3) = -1$ で条件を満たします。

また、$b=1, d=-2$ の場合、$2(-2)+1 = -3$ で条件を満たします。

$ad+bc = (-3)(-2) + (1)(1) = 6+1=7$ となり、これも条件を満たします。

したがって、$a=-3, b=1, c=1, d=-2$ が条件を満たします。

したがって、因数分解の結果は以下のようになります。

$(2x - 3y + 1)(x + y - 2)$

3. 最終的な答え

$(2x - 3y + 1)(x + y - 2)$