円に内接する四角形ABCDがあり、各辺の長さがAB = 8, BC = 3, CD = 5, DA = 3である。 このとき、∠DAB, BDの長さ、四角形ABCDの面積、円Oの面積を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、各辺の長さがAB = 8, BC = 3, CD = 5, DA = 3である。

このとき、∠DAB, BDの長さ、四角形ABCDの面積、円Oの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) ∠DABを求める。

余弦定理を△ABDに適用する。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos∠DAB$

同様に、余弦定理を△BCDに適用する。∠BCD = $180^\circ - ∠DAB$なので、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2BC \cdot CD \cos∠BCD = BC^2 + CD^2 + 2BC \cdot CD \cos∠DAB$

上記2式よりBDを消去する。

$AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos∠DAB = BC^2 + CD^2 + 2BC \cdot CD \cos∠DAB$

$8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cos∠DAB = 3^2 + 5^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos∠DAB$

$64 + 9 - 48 \cos∠DAB = 9 + 25 + 30 \cos∠DAB$

$73 - 48 \cos∠DAB = 34 + 30 \cos∠DAB$

$39 = 78 \cos∠DAB$

$\cos∠DAB = \frac{39}{78} = \frac{1}{2}$

よって、∠DAB = $60^\circ$

(2) BDの長さを求める。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB \cdot AD \cos∠DAB$

$BD^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cos60^\circ$

$BD^2 = 64 + 9 - 48 \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = 73 - 24 = 49$

$BD = \sqrt{49} = 7$

(3) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積 = △ABDの面積 + △BCDの面積

△ABDの面積 = $\frac{1}{2} AB \cdot AD \sin∠DAB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 \sin60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

△BCDの面積 = $\frac{1}{2} BC \cdot CD \sin∠BCD = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \sin(180^\circ - 60^\circ) = \frac{15}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

四角形ABCDの面積 = $6\sqrt{3} + \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{24\sqrt{3} + 15\sqrt{3}}{4} = \frac{39\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

∠DAB = 60°

BD = 7

四角形ABCDの面積 = $\frac{39\sqrt{3}}{4}$