与えられた数列 $2, [], [], 54, ...$ が等比数列であるとき、空欄に入る数字と一般項の組み合わせとして正しいものを選択する問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $2, [], [], 54, ...$ が等比数列であるとき、空欄に入る数字と一般項の組み合わせとして正しいものを選択する問題です。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の性質を利用して公比を求めます。数列の最初の項を $a_1$、公比を $r$ とすると、数列は $a_1, a_1r, a_1r^2, a_1r^3, ...$ と表されます。

この問題では、$a_1 = 2$ であり、4番目の項が $54$ であることから、$a_1r^3 = 54$ が成り立ちます。

したがって、

$2r^3 = 54$

$r^3 = 27$

$r = 3$

これで公比が $3$ であることがわかったので、2番目の項は $2 \times 3 = 6$、3番目の項は $6 \times 3 = 18$ となります。

したがって、$[], []$ に入る数字は $6, 18$ です。

次に、一般項を求めます。等比数列の一般項は $a_n = a_1r^{n-1}$ で表されるので、この数列の一般項は $a_n = 2 \times 3^{n-1}$ となります。

3. 最終的な答え

空欄に入る数字は $6, 18$ で、一般項は $2 \cdot 3^{n-1}$ です。選択肢の中でこれに一致するのは選択肢 5 です。

したがって、答えは

5. 6, 18, $2 \cdot 3^{n-1}$ です。