3つの自然数 $a, b, c$ の組を求める問題です。ただし、$a < b < c$ であり、以下の条件を満たします。 (A) $a, b, c$ の最大公約数は 7 (B) $b, c$ の最大公約数は 21, 最小公倍数は 294 (C) $a, b$ の最小公倍数は 84

1. 問題の内容

3つの自然数 $a, b, c$ の組を求める問題です。ただし、$a < b < c$ であり、以下の条件を満たします。

(A) $a, b, c$ の最大公約数は 7

(B) $b, c$ の最大公約数は 21, 最小公倍数は 294

(C) $a, b$ の最小公倍数は 84

2. 解き方の手順

(A) より、$a = 7x, b = 7y, c = 7z$ と表せます。ここで、$x, y, z$ は互いに素な自然数です。

(B) より、$b$ と $c$ の最大公約数は 21 なので、$b = 21p, c = 21q$ と表せます。ここで、$p, q$ は互いに素な自然数です。また、$b$ と $c$ の最小公倍数は 294 なので、$21pq = 294$ が成り立ちます。よって、$pq = 14$ となります。$p < q$ であることに注意すると、$p = 1, q = 14$ または $p = 2, q = 7$ が考えられます。

したがって、$b = 21 \times 1 = 21, c = 21 \times 14 = 294$ または $b = 21 \times 2 = 42, c = 21 \times 7 = 147$ となります。

(C) より、$a$ と $b$ の最小公倍数は 84 なので、$a = 7x, b = 7y$ を代入すると、$\frac{7x \times 7y}{7} = 84$ 、すなわち、$7xy = 84$ が成り立ち、$xy = 12$ となります。

(1) $b = 21$ の場合：

$7y = 21$ より、$y = 3$ です。$xy = 12$ より、$3x = 12$ なので、$x = 4$ となります。したがって、$a = 7 \times 4 = 28$ です。

このとき、$a = 28, b = 21, c = 294$ となり、$a < b < c$ を満たしません。したがって、この場合は不適です。

(2) $b = 42$ の場合：

$7y = 42$ より、$y = 6$ です。$xy = 12$ より、$6x = 12$ なので、$x = 2$ となります。したがって、$a = 7 \times 2 = 14$ です。

このとき、$a = 14, b = 42, c = 147$ となり、$a < b < c$ を満たします。また、$a, b, c$ の最大公約数は 7 であることを確認します。$a = 2 \times 7, b = 6 \times 7, c = 21 \times 7$ であり、2, 6, 21 の最大公約数は 1 なので、条件を満たします。

3. 最終的な答え

$(a, b, c) = (14, 42, 147)$