直線 $y = 3x$ に関して点 $A(a, b)$ と対称な点を $B(X, Y)$ とする。 (1) $X$ を $a, b$ で表す。 (2) 点 $A$ が直線 $y = x + 8$ の上を動くとき、点 $B$ は直線 $Y = mX + n$ の上を動く。このとき、$m$ の値を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = 3x$ に関して点 $A(a, b)$ と対称な点を $B(X, Y)$ とする。

(1) $X$ を $a, b$ で表す。

(2) 点 $A$ が直線 $y = x + 8$ の上を動くとき、点 $B$ は直線 $Y = mX + n$ の上を動く。このとき、$m$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $A(a, b)$ と点 $B(X, Y)$ が直線 $y = 3x$ に関して対称である条件は、以下の2つである。

* 線分 $AB$ の中点が直線 $y = 3x$ 上にある。

* 線分 $AB$ と直線 $y = 3x$ が垂直に交わる。

線分 $AB$ の中点を $M$ とすると、$M$ の座標は $\left( \frac{a + X}{2}, \frac{b + Y}{2} \right)$ である。

$M$ が直線 $y = 3x$ 上にあるので、

$$\frac{b + Y}{2} = 3 \cdot \frac{a + X}{2}$$

$$b + Y = 3(a + X)$$

$$Y = 3a + 3X - b \quad \cdots ①$$

線分 $AB$ の傾きは $\frac{Y - b}{X - a}$ であり、直線 $y = 3x$ の傾きは $3$ である。

$AB$ と $y = 3x$ が垂直なので、

$$\frac{Y - b}{X - a} \cdot 3 = -1$$

$$3(Y - b) = - (X - a)$$

$$3Y - 3b = -X + a$$

$$3Y = -X + a + 3b$$

$$Y = -\frac{1}{3} X + \frac{1}{3}a + b \quad \cdots ②$$

①と②より、

$$3a + 3X - b = -\frac{1}{3} X + \frac{1}{3} a + b$$

$$9a + 9X - 3b = -X + a + 3b$$

$$10X = -8a + 6b$$

$$X = -\frac{4}{5} a + \frac{3}{5} b$$

(2) 点 $A(a, b)$ が直線 $y = x + 8$ 上にあるので、$b = a + 8$ が成り立つ。

これを (1) で求めた $X$ の式に代入すると、

$$X = -\frac{4}{5} a + \frac{3}{5} (a + 8)$$

$$X = -\frac{4}{5} a + \frac{3}{5} a + \frac{24}{5}$$

$$X = -\frac{1}{5} a + \frac{24}{5}$$

$$5X = -a + 24$$

$$a = -5X + 24$$

$b = a + 8$ より、$b = -5X + 24 + 8 = -5X + 32$

①に代入すると、

$$Y = 3a + 3X - b = 3(-5X + 24) + 3X - (-5X + 32)$$

$$Y = -15X + 72 + 3X + 5X - 32 = -7X + 40$$

したがって、$Y = -7X + 40$ となるので、$m = -7$ である。

3. 最終的な答え

(1) $X = -\frac{4}{5} a + \frac{3}{5} b$

(2) $m = -7$