問題8： (1) $\triangle ABC$において、$c = 2\sqrt{3}, B = 75^{\circ}, C = 60^{\circ}$のとき、$a$を求めよ。 (2) $\triangle ABC$において、$A = 120^{\circ}, BC = 21$のとき、外接円の半径を求めよ。 問題9： (1) $\triangle ABC$において、$a = 4, b = 7, \cos C = \frac{3}{4}$のとき、$c$を求めよ。 (2) 3辺の長さが5, 6, 7の三角形の内角のうち、最も大きい角を$\theta$とするとき、$\cos \theta$と三角形の面積を求めよ。 問題10： 円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 4, AD = 3, BC = 6, BD = \sqrt{33}$のとき、$\cos A$, $\cos C$と$CD$を求めよ。ただし、$CD$の小さい順に答えよ。

1. 問題の内容

問題8：

(1) $\triangle ABC$において、$c = 2\sqrt{3}, B = 75^{\circ}, C = 60^{\circ}$のとき、$a$を求めよ。

(2) $\triangle ABC$において、$A = 120^{\circ}, BC = 21$のとき、外接円の半径を求めよ。

問題9：

(1) $\triangle ABC$において、$a = 4, b = 7, \cos C = \frac{3}{4}$のとき、$c$を求めよ。

(2) 3辺の長さが5, 6, 7の三角形の内角のうち、最も大きい角を$\theta$とするとき、$\cos \theta$と三角形の面積を求めよ。

問題10：

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB = 4, AD = 3, BC = 6, BD = \sqrt{33}$のとき、$\cos A$, $\cos C$と$CD$を求めよ。ただし、$CD$の小さい順に答えよ。

2. 解き方の手順

問題8：

(1) $A = 180^{\circ} - B - C = 180^{\circ} - 75^{\circ} - 60^{\circ} = 45^{\circ}$

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

$\frac{a}{\sin 45^{\circ}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}$

$\frac{a}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$a\sqrt{2} = 4$

$a = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

(2) 正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = 2R$, ここで、$a=BC=21$, $A=120^{\circ}$。

$\frac{21}{\sin 120^{\circ}} = 2R$

$\frac{21}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$2R = \frac{42}{\sqrt{3}} = 14\sqrt{3}$

$R = 7\sqrt{3}$

問題9：

(1) 余弦定理より、$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

$c^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{3}{4} = 16 + 49 - 42 = 23$

$c = \sqrt{23}$

(2) 最も大きい角は、最も長い辺に対する角なので、7に対する角を$\theta$とする。

余弦定理より、$7^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cos \theta$

$49 = 25 + 36 - 60 \cos \theta$

$60 \cos \theta = 12$

$\cos \theta = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

ヘロンの公式より、$s = \frac{5+6+7}{2} = 9$

面積$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$

問題10：

$\triangle ABD$において、余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

$33 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cos A$

$33 = 16 + 9 - 24 \cos A$

$24 \cos A = -8$

$\cos A = -\frac{1}{3}$

円に内接する四角形の対角の和は$180^{\circ}$なので、$C = 180^{\circ} - A$

$\cos C = \cos(180^{\circ} - A) = - \cos A = \frac{1}{3}$

$\triangle BCD$において、余弦定理より、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C$

$33 = 6^2 + CD^2 - 2 \cdot 6 \cdot CD \cdot \frac{1}{3}$

$33 = 36 + CD^2 - 4CD$

$CD^2 - 4CD + 3 = 0$

$(CD-1)(CD-3) = 0$

$CD = 1, 3$

$CD$は小さい順に1, 3

3. 最終的な答え

問題8：

(1) $a = 2\sqrt{2}$

(2) $R = 7\sqrt{3}$

問題9：

(1) $c = \sqrt{23}$

(2) $\cos \theta = \frac{1}{5}$, 面積は$6\sqrt{6}$

問題10：

$\cos A = -\frac{1}{3}$, $\cos C = \frac{1}{3}$, $CD = 1, 3$