与えられた三角比に関する問題を解く。具体的には、三角比の定義、相互関係、角度の変換、正弦定理・余弦定理、三角形の面積に関する計算を行う。

1. 問題の内容

与えられた三角比に関する問題を解く。具体的には、三角比の定義、相互関係、角度の変換、正弦定理・余弦定理、三角形の面積に関する計算を行う。

2. 解き方の手順

(1) 三角比の定義：

円Oに内接する$\triangle ABC$において、角Aに対する三角比を求める。

$sinA = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$cosA = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$tanA = \frac{1}{2}$

(2) 三角比の相互関係：

(1) $\alpha$は鋭角とする。

$sin\alpha = \frac{2}{3}$ のとき、$cos\alpha = \sqrt{1 - sin^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{2/3}{\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

(2) $\beta$は鈍角とする。

$tan\beta = -2$ のとき、$cos\beta = -\frac{1}{\sqrt{1+tan^2\beta}} = -\frac{1}{\sqrt{1+(-2)^2}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

$sin\beta = tan\beta \cdot cos\beta = (-2) \cdot (-\frac{1}{\sqrt{5}}) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

(3) $90^{\circ}-\theta$, $180^{\circ}-\theta$ の三角比：

(1) $sin(180^{\circ}-\theta)cos(90^{\circ}-\theta) + sin(90^{\circ}-\theta)cos\theta = sin\theta \cdot sin\theta + cos\theta \cdot cos\theta = sin^2\theta + cos^2\theta = 1$

(2) $tan 18^{\circ} \cdot tan 36^{\circ} \cdot tan 54^{\circ} \cdot tan 72^{\circ} = tan 18^{\circ} \cdot tan 36^{\circ} \cdot tan (90^{\circ}-36^{\circ}) \cdot tan (90^{\circ}-18^{\circ}) = tan 18^{\circ} \cdot tan 36^{\circ} \cdot \frac{1}{tan 36^{\circ}} \cdot \frac{1}{tan 18^{\circ}} = 1$

(4) 正弦定理・余弦定理：

(1) $\triangle ABC$において、$A=30^{\circ}, C=45^{\circ}, a=2$ のとき、$\frac{a}{sinA} = \frac{c}{sinC}$より、$c = \frac{a \cdot sinC}{sinA} = \frac{2 \cdot sin45^{\circ}}{sin30^{\circ}} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$

$R = \frac{a}{2sinA} = \frac{2}{2 \cdot sin30^{\circ}} = \frac{2}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 2$

(2) $\triangle ABC$において、$a=5, b=3, C=120^{\circ}$ のとき、$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot cos120^{\circ} = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49$

$c = \sqrt{49} = 7$

(3) $\triangle ABC$において、$a=5, b=6, c=7$ のとき、$cosC = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25 + 36 - 49}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

(5) 三角形の面積：

$\triangle ABC$において、$b=5, c=8, A=60^{\circ}$ のとき、$\triangle ABC$の面積$S = \frac{1}{2}bc sinA = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot sin60^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 三角比の定義：

$sinA = \frac{1}{\sqrt{5}}$, $cosA = \frac{2}{\sqrt{5}}$, $tanA = \frac{1}{2}$

(2) 三角比の相互関係：

(1) $cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}$, $tan\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$

(2) $cos\beta = -\frac{1}{\sqrt{5}}$, $sin\beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$

(3) $90^{\circ}-\theta$, $180^{\circ}-\theta$ の三角比：

(1) $1$

(2) $1$

(4) 正弦定理・余弦定理：

(1) $c = 2\sqrt{2}$, $R = 2$

(2) $c = 7$

(3) $cosC = \frac{1}{5}$

(5) 三角形の面積：

$S = 10\sqrt{3}$