$\alpha$ は第2象限の角で、$\sin \alpha = \frac{4}{5}$ であるとき、$\cos \alpha$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\alpha$ は第2象限の角で、$\sin \alpha = \frac{4}{5}$ であるとき、$\cos \alpha$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ という三角関数の基本的な恒等式を利用します。

$\sin \alpha$ の値が与えられているので、この式に代入して $\cos^2 \alpha$ を求めます。

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$

$\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{4}{5})^2$

$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25}$

$\cos^2 \alpha = \frac{25}{25} - \frac{16}{25}$

$\cos^2 \alpha = \frac{9}{25}$

したがって、$\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$ となります。

ここで、$\alpha$ は第2象限の角であるという条件から、$\cos \alpha$ の符号を決定します。第2象限では、$\cos$ の値は負になるため、$\cos \alpha = - \frac{3}{5}$ です。

3. 最終的な答え

$\cos \alpha = - \frac{3}{5}$