正方形ABCDにおいて、AE:EO = 2:1 であるとき、三角形AFEと三角形ABOの面積比を求める問題です。

1. 問題の内容

正方形ABCDにおいて、AE:EO = 2:1 であるとき、三角形AFEと三角形ABOの面積比を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、正方形の一辺の長さを仮に$x$と置きます。

点Oは正方形の対角線の交点なので、$AO = \frac{\sqrt{2}}{2}x$となります。

次に、問題文より、AE:EO = 2:1 であるから、AE = 2EOです。また、$AO = AE + EO$なので、$AO = 2EO + EO = 3EO$となり、$EO = \frac{1}{3} AO$となります。

したがって、$AE = AO - EO = AO - \frac{1}{3} AO = \frac{2}{3} AO = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}x = \frac{\sqrt{2}}{3}x$となります。

次に、三角形AFEと三角形ABOの面積比を求めます。

三角形AFEの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AF \cdot AE$で表されます。

ここで、AFの長さを考えます。問題文からAF = $x$であると考えられます。

（図から、正方形の一辺がAFであると仮定）

三角形AFEの面積は、$\frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}x = \frac{\sqrt{2}}{6}x^2$となります。

三角形ABOの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot \frac{1}{2} BC = \frac{1}{4} x^2$となります。

したがって、面積比は、

$\frac{\sqrt{2}}{6}x^2 : \frac{1}{4}x^2 = \frac{\sqrt{2}}{6} : \frac{1}{4} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} : \frac{1}{2}=2: (3 \sqrt{2})$ となります。

次にAFの長さを1cmと仮定して計算します。

三角形AFEと三角形ABOの面積比を求めます。

三角形ABOの面積は$\frac{1}{4} x^2$です。

正方形の一辺の長さを１とすると，

三角形AFEの面積は$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot AE$なので，AEを求めます．

$\sqrt{2} :AE = 6:2$なので，$AE = \frac{2\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{3}$

三角形AFEの面積は$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{6}$です．

三角形ABOの面積は$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{4}$

したがって$\frac{\sqrt{2}}{6}:\frac{1}{4} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}:1$

$\sqrt{2}$を考えると1:3ではないので，AFが正方形の一辺ではないという仮定で考えます．

AE:EO = 2:1から、三角形AFEと三角形AFOの面積比を求める。

三角形AFE = $\frac{2}{3}$ 三角形AFO

三角形ABO = $\frac{1}{2}$ 正方形ABCD = $\frac{1}{4}$ 正方形ABCD

ここで、正方形の一辺の長さを1とすると、三角形ABO = $\frac{1}{4}$

AE=$\frac{\sqrt{2}}{3}$

三角形AFE = $\frac{1}{2} \times AF \times AE \times \sin{45°}$

三角形AFE = AF × AE × $\frac{\sqrt{2}}{4} = AF × \frac{\sqrt{2}}{3}$ × $\frac{\sqrt{2}}{4} =AF \times \frac{1}{6}$

もしAF=1なら，三角形AFE = $\frac{1}{6}$

三角形AFE:三角形ABO = $\frac{1}{6} : \frac{1}{4} = \frac{2}{12}:\frac{3}{12}=2:3$

AF= $\frac{1}{2} AD$だと仮定すると、三角形AFE=$\frac{1}{12}$

よって、$\frac{1}{12}:\frac{1}{4} = 1:3$

3. 最終的な答え

3. 1:3