2つの図形AとBがあり、それぞれ5つの区画に分けられています。これらの図形AとBを、それぞれ異なる5色をすべて用いて塗り分ける方法が何通りあるかを求める問題です。

1. 問題の内容

2つの図形AとBがあり、それぞれ5つの区画に分けられています。これらの図形AとBを、それぞれ異なる5色をすべて用いて塗り分ける方法が何通りあるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、図形A（五角形）について考えます。

* 一番上の区画の色は5色から選ぶことができます。

* 次に、時計回りに隣の区画の色は、すでに使用した色以外の4色から選ぶことができます。

* さらに隣の区画の色は、すでに使用した2色以外の3色から選ぶことができます。

* 同様に、その隣の区画の色は2色から選ぶことができ、最後の区画の色は残った1色で決まります。

したがって、図形Aの塗り分け方は $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120$ 通りとなります。

しかし、回転対称性を考慮する必要があります。五角形は5つの回転対称性を持つため、実際に異なる塗り方は $120 / 5 = 24$ 通りとはなりません。

問題文よりAの塗り分けは回転して同じになるものを区別すると考えられます。そのため図形Aの塗り分け方は $5! = 120$ 通りです。

次に、図形B（正方形の中に正方形）について考えます。

* 外側の正方形の左上の区画の色は5色から選ぶことができます。

* その隣の区画の色は、すでに使用した色以外の4色から選ぶことができます。

* その隣の区画の色は、すでに使用した2色以外の3色から選ぶことができます。

* 最後の外側の区画の色は、すでに使用した3色以外の2色から選ぶことができます。

* 内側の正方形の区画の色は、残りの1色で決まります。

したがって、図形Bの塗り分け方は $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5! = 120$ 通りとなります。

図形Bは4つの回転対称性を持つため、実際に異なる塗り分け方は $120 / 4$ とはなりません。問題文よりBの塗り分けは回転して同じになるものを区別すると考えられます。そのため図形Bの塗り分け方は $5! = 120$ 通りです。

図形AとBを5色すべてを用いて塗り分ける場合、まず1色を固定して考える必要があります。

Aの場合、真ん中の三角形に1色を固定します。残りの4色で周りの4つの三角形を塗る塗り方は、4! = 24通りです。

Bの場合、内側の正方形に1色を固定します。残りの4色で周りの4つの長方形を塗る塗り方は、(4-1)! = 3! = 6通りです。しかし、問題文より回転して同じになるものを区別するので、4! = 24通りです。

そのため塗り方は $5 \times 4!$ となります。

Aについて $5 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) / 5 = 24$

Bについて $5 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) / 4 = 30$

3. 最終的な答え

図形A: 24通り

図形B: 30通り

答えは選択肢2です。