全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$n(U)=100$, $n(A)=36$, $n(B)=42$, $n(A \cap B)=15$ であるとき、以下の個数を求めます。 (1) $n(\overline{A})$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(\overline{A \cap B})$ (4) $n(A \cup B)$ (5) $n(\overline{A \cup B})$ (6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

離散数学集合補集合和集合共通部分ド・モルガンの法則
2025/4/30

1. 問題の内容

全体集合 UU の部分集合 AA, BB について、n(U)=100n(U)=100, n(A)=36n(A)=36, n(B)=42n(B)=42, n(AB)=15n(A \cap B)=15 であるとき、以下の個数を求めます。
(1) n(A)n(\overline{A})
(2) n(B)n(\overline{B})
(3) n(AB)n(\overline{A \cap B})
(4) n(AB)n(A \cup B)
(5) n(AB)n(\overline{A \cup B})
(6) n(AB)n(\overline{A} \cap \overline{B})

2. 解き方の手順

(1) n(A)n(\overline{A})AA の補集合の要素の個数です。
n(A)=n(U)n(A)n(\overline{A}) = n(U) - n(A)
n(A)=10036n(\overline{A}) = 100 - 36
n(A)=64n(\overline{A}) = 64
(2) n(B)n(\overline{B})BB の補集合の要素の個数です。
n(B)=n(U)n(B)n(\overline{B}) = n(U) - n(B)
n(B)=10042n(\overline{B}) = 100 - 42
n(B)=58n(\overline{B}) = 58
(3) n(AB)n(\overline{A \cap B})ABA \cap B の補集合の要素の個数です。
n(AB)=n(U)n(AB)n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)
n(AB)=10015n(\overline{A \cap B}) = 100 - 15
n(AB)=85n(\overline{A \cap B}) = 85
(4) n(AB)n(A \cup B)AABB の和集合の要素の個数です。
n(AB)=n(A)+n(B)n(AB)n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)
n(AB)=36+4215n(A \cup B) = 36 + 42 - 15
n(AB)=7815n(A \cup B) = 78 - 15
n(AB)=63n(A \cup B) = 63
(5) n(AB)n(\overline{A \cup B})ABA \cup B の補集合の要素の個数です。
n(AB)=n(U)n(AB)n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)
n(AB)=10063n(\overline{A \cup B}) = 100 - 63
n(AB)=37n(\overline{A \cup B}) = 37
(6) n(AB)n(\overline{A} \cap \overline{B})A\overline{A}B\overline{B} の共通部分の要素の個数です。ド・モルガンの法則より、AB=AB\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B} なので、
n(AB)=n(AB)=37n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = 37

3. 最終的な答え

(1) n(A)=64n(\overline{A}) = 64
(2) n(B)=58n(\overline{B}) = 58
(3) n(AB)=85n(\overline{A \cap B}) = 85
(4) n(AB)=63n(A \cup B) = 63
(5) n(AB)=37n(\overline{A \cup B}) = 37
(6) n(AB)=37n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 37

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