全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$n(U)=100$, $n(A)=36$, $n(B)=42$, $n(A \cap B)=15$ であるとき、以下の個数を求めます。 (1) $n(\overline{A})$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(\overline{A \cap B})$ (4) $n(A \cup B)$ (5) $n(\overline{A \cup B})$ (6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$n(U)=100$, $n(A)=36$, $n(B)=42$, $n(A \cap B)=15$ であるとき、以下の個数を求めます。

(1) $n(\overline{A})$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(\overline{A \cap B})$

(4) $n(A \cup B)$

(5) $n(\overline{A \cup B})$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A})$：$A$ の補集合の要素の個数です。

$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$

$n(\overline{A}) = 100 - 36$

$n(\overline{A}) = 64$

(2) $n(\overline{B})$：$B$ の補集合の要素の個数です。

$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$

$n(\overline{B}) = 100 - 42$

$n(\overline{B}) = 58$

(3) $n(\overline{A \cap B})$：$A \cap B$ の補集合の要素の個数です。

$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$

$n(\overline{A \cap B}) = 100 - 15$

$n(\overline{A \cap B}) = 85$

(4) $n(A \cup B)$：$A$ と $B$ の和集合の要素の個数です。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 36 + 42 - 15$

$n(A \cup B) = 78 - 15$

$n(A \cup B) = 63$

(5) $n(\overline{A \cup B})$：$A \cup B$ の補集合の要素の個数です。

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(\overline{A \cup B}) = 100 - 63$

$n(\overline{A \cup B}) = 37$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$：$\overline{A}$ と $\overline{B}$ の共通部分の要素の個数です。ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ なので、

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = 37$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}) = 64$

(2) $n(\overline{B}) = 58$

(3) $n(\overline{A \cap B}) = 85$

(4) $n(A \cup B) = 63$

(5) $n(\overline{A \cup B}) = 37$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 37$