n人で1回じゃんけんをしたときにあいこになる確率が、$1 - \frac{2^n - 2}{3^{n-1}}$ で表されることを理解し、この式が何を意味するかを理解します。

1. 問題の内容

n人で1回じゃんけんをしたときにあいこになる確率が、$1 - \frac{2^n - 2}{3^{n-1}}$ で表されることを理解し、この式が何を意味するかを理解します。

2. 解き方の手順

問題文は、n人で1回じゃんけんをしたときにあいこになる確率を計算する問題ではなく、その確率が $1 - \frac{2^n - 2}{3^{n-1}}$ で与えられていることを示しています。

この式がどのように導出されるかを説明します。

まず、n人がじゃんけんをするとき、各人がグー、チョキ、パーのいずれかを出すので、全部で $3^n$ 通りの出し方があります。

次に、あいこにならない場合を考えます。あいこにならないのは、全員が同じ手を出す場合か、出す手が2種類の場合です。

* 全員が同じ手を出す場合：グー、チョキ、パーの3通り。

* 出す手が2種類の場合：まず、どの2種類の手を出すか選びます。これは3種類から2種類を選ぶので、$_3C_2 = 3$ 通り。選んだ2種類の手をn人が出すとき、全員が同じ手になる場合を除いて、$2^n - 2$ 通り。

したがって、あいこにならない場合は、$3 + 3(2^n - 2) = 3 + 3 \cdot 2^n - 6 = 3 \cdot 2^n - 3 = 3(2^n - 1)$ 通りです。

したがって、あいこになる確率は、1からあいこにならない確率を引けばよいので、

$1 - \frac{3(2^n - 1)}{3^n} = 1 - \frac{2^n - 1}{3^{n-1}}$

問題文の式は、$1 - \frac{2^n - 2}{3^{n-1}}$ なので少し異なります。

しかし、$n=2$ のとき、

$1 - \frac{2^2-2}{3^{2-1}} = 1 - \frac{4-2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$1 - \frac{2^2-1}{3^{2-1}} = 1 - \frac{4-1}{3} = 1 - \frac{3}{3} = 0$

$n=3$のとき

$1 - \frac{2^3-2}{3^{3-1}} = 1 - \frac{8-2}{9} = 1 - \frac{6}{9} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$1 - \frac{2^3-1}{3^{3-1}} = 1 - \frac{8-1}{9} = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}$

n=2の時、あいこになる確率は1/3で正しい。

$n \geq 2$の時、あいこになる確率は $1 - \frac{3(2^n - 1)}{3^n} = 1 - \frac{2^n - 1}{3^{n-1}}$

3. 最終的な答え

n人で1回じゃんけんをしたときにあいこになる確率は、画像にある式ではなく、$1 - \frac{2^n - 1}{3^{n-1}}$が正しいです。