放物線 $y = 2x^2 - 4x + 1$ を直線 $y = -2$ に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 4x + 1$ を直線 $y = -2$ に関して対称移動して得られる放物線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線 $y = 2x^2 - 4x + 1$ 上の任意の点 $(x, y)$ を、直線 $y = -2$ に関して対称移動した点を $(x', y')$ とします。

対称移動の性質から、$x' = x$ であり、$y$ と $y'$ の中点が $y = -2$ 上にあるので、

$\frac{y + y'}{2} = -2$

が成り立ちます。この式から、$y'$ を $y$ で表すと、

$y + y' = -4$

$y' = -4 - y$

となります。

したがって、$y = -4 - y'$ となります。

元の放物線の方程式 $y = 2x^2 - 4x + 1$ に、$x = x'$ および $y = -4 - y'$ を代入すると、

$-4 - y' = 2(x')^2 - 4x' + 1$

となります。これを $y'$ について解くと、

$y' = -2(x')^2 + 4x' - 5$

となります。

よって、対称移動後の放物線の方程式は、

$y = -2x^2 + 4x - 5$

となります。

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 4x - 5$