$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $OA$ の中点を $N$ とし、$\triangle OMN$ の重心を $G$ とする。このとき、$\vec{OG}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表す問題を解きます。つまり、$\vec{OG} = \frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}} \vec{OA} + \frac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}} \vec{OB}$ の $\boxed{ア}, \boxed{イ}, \boxed{ウ}, \boxed{エ}$ に入る数字を求めます。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ の中点を $M$、辺 $OA$ の中点を $N$ とし、$\triangle OMN$ の重心を $G$ とする。このとき、$\vec{OG}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表す問題を解きます。つまり、$\vec{OG} = \frac{\boxed{ア}}{\boxed{イ}} \vec{OA} + \frac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}} \vec{OB}$ の $\boxed{ア}, \boxed{イ}, \boxed{ウ}, \boxed{エ}$ に入る数字を求めます。

2. 解き方の手順

重心 $G$ の位置ベクトル $\vec{OG}$ は、$\triangle OMN$ の頂点の位置ベクトルの平均で表されます。

$\vec{OM}$ は、$AB$ の中点なので、

$$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$$

$\vec{ON}$ は、$OA$ の中点なので、

$$\vec{ON} = \frac{\vec{OA}}{2}$$

重心 $G$ の位置ベクトル $\vec{OG}$ は、

$$\vec{OG} = \frac{\vec{OO} + \vec{OM} + \vec{ON}}{3}$$

ここで、$\vec{OO} = \vec{0}$ なので、

$$\vec{OG} = \frac{\vec{OM} + \vec{ON}}{3}$$

$\vec{OM}$ と $\vec{ON}$ を代入すると、

$$\vec{OG} = \frac{\frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} + \frac{\vec{OA}}{2}}{3} = \frac{\frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{2}}{3} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{6} = \frac{2}{6}\vec{OA} + \frac{1}{6}\vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{1}{6}\vec{OB}$$

したがって、$\vec{OG} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{1}{6}\vec{OB}$ となります。

3. 最終的な答え

$\vec{OG} = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{1}{6} \vec{OB}$ より、

$\boxed{ア} = 1$

$\boxed{イ} = 3$

$\boxed{ウ} = 1$

$\boxed{エ} = 6$