$f(x) = x^2 - 2ax + 4a^2$ という関数で表される放物線Cがある。原点OからCに引いた接線の接点をQ(q, f(q))とする。また、Cの頂点をAとし、直線OAとCの交点のうちAと異なる点をP(p, f(p))とする。 (1) p, q を a を用いて表し、p > q であることを示す。 (2) 放物線Cのq≦x≦pの部分、線分OP、および線分OQで囲まれた図形の面積をSとおく。Sをaを用いて表す。 (3) S = 2/3 となるときの a の値を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 - 2ax + 4a^2$ という関数で表される放物線Cがある。原点OからCに引いた接線の接点をQ(q, f(q))とする。また、Cの頂点をAとし、直線OAとCの交点のうちAと異なる点をP(p, f(p))とする。

(1) p, q を a を用いて表し、p > q であることを示す。

(2) 放物線Cのq≦x≦pの部分、線分OP、および線分OQで囲まれた図形の面積をSとおく。Sをaを用いて表す。

(3) S = 2/3 となるときの a の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、放物線Cの式を平方完成する。

$f(x) = (x - a)^2 + 3a^2$

したがって、頂点Aの座標は $(a, 3a^2)$となる。

次に、直線OAの方程式を求める。

直線OAは原点を通るので、傾きのみを求めればよい。

傾きは $\frac{3a^2 - 0}{a - 0} = 3a$ なので、直線OAの方程式は $y = 3ax$ となる。

Pは直線OAと放物線Cの交点なので、

$x^2 - 2ax + 4a^2 = 3ax$

$x^2 - 5ax + 4a^2 = 0$

$(x - a)(x - 4a) = 0$

$x = a, 4a$

Aのx座標は$a$なので、Pのx座標は$4a$。よって、$p = 4a$。

次に、原点Oから放物線Cに引いた接線を考える。接点Qの座標を$(q, f(q))$とすると、接線の方程式は

$y - f(q) = f'(q)(x - q)$

$f'(x) = 2x - 2a$ なので、

$y - (q^2 - 2aq + 4a^2) = (2q - 2a)(x - q)$

この直線が原点を通るので、

$0 - (q^2 - 2aq + 4a^2) = (2q - 2a)(0 - q)$

$-q^2 + 2aq - 4a^2 = -2q^2 + 2aq$

$q^2 - 4a^2 = 0$

$(q - 2a)(q + 2a) = 0$

$q = 2a, -2a$

$q > 0$ なので、$q = 2a$。

$p = 4a$, $q = 2a$ より、$p > q$。

(2)

Sは、放物線Cのq≦x≦pの部分、線分OP、および線分OQで囲まれた図形の面積なので、

$S = \frac{1}{2} |4a \cdot f(2a) - 2a \cdot f(4a)| - \int_{2a}^{4a} (x^2 - 2ax + 4a^2) dx$

$f(2a) = (2a)^2 - 2a(2a) + 4a^2 = 4a^2$

$f(4a) = (4a)^2 - 2a(4a) + 4a^2 = 12a^2$

$\frac{1}{2} |4a \cdot 4a^2 - 2a \cdot 12a^2| = \frac{1}{2} |16a^3 - 24a^3| = \frac{1}{2} |-8a^3| = 4a^3$

$\int_{2a}^{4a} (x^2 - 2ax + 4a^2) dx = [\frac{1}{3}x^3 - ax^2 + 4a^2x]_{2a}^{4a} = (\frac{64}{3}a^3 - 16a^3 + 16a^3) - (\frac{8}{3}a^3 - 4a^3 + 8a^3) = \frac{64}{3}a^3 - \frac{8}{3}a^3 - 16a^3 + 4a^3 + 16a^3 - 8a^3 = \frac{56}{3}a^3 - 4a^3 = \frac{44}{3}a^3$

したがって、$S = 4a^3 - \frac{44}{3}a^3 = -\frac{32}{3}a^3$

面積なので正の値をとるから$S = \int_{2a}^{4a} 3ax - (x^2 - 2ax + 4a^2)dx = \int_{2a}^{4a} -x^2 + 5ax - 4a^2 dx - \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 2a & 4a^2 \\ 4a & 12a^2 \end{vmatrix} = \frac{4}{3} a^3$

$= [-\frac{x^3}{3} + \frac{5ax^2}{2} - 4a^2 x ]_{2a}^{4a} = (-\frac{64 a^3}{3} + 40 a^3 - 16 a^3) - (-\frac{8 a^3}{3} + 10 a^3 - 8 a^3) = \frac{4}{3}a^3$

$S = \frac{4}{3}a^3$

(3)

$\frac{4}{3}a^3 = \frac{2}{3}$

$4a^3 = 2$

$a^3 = \frac{1}{2}$

$a = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $p = 4a$, $q = 2a$, $p > q$

(2) $S = \frac{4}{3}a^3$

(3) $a = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$