領域 $D$ が $0 \le x \le 2$, $0 \le y \le x$ で定義されるとき、二重積分 $\iint_D xy \, dxdy$ を計算する。

1. 問題の内容

領域 $D$ が $0 \le x \le 2$, $0 \le y \le x$ で定義されるとき、二重積分 $\iint_D xy \, dxdy$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた領域 $D$ を考慮して、二重積分の積分範囲を設定します。

$D$ は $0 \le x \le 2$ かつ $0 \le y \le x$ で与えられているので、

$x$ で積分してから $y$ で積分する順序で計算すると、積分範囲は $0 \le y \le x$、 $0 \le x \le 2$ となります。

従って、二重積分は次のように書けます。

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\iint_D xy \, dxdy = \int_0^2 \int_0^x xy \, dy dx

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まず、内側の積分を計算します。

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\int_0^x xy \, dy = x \int_0^x y \, dy = x \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_0^x = x \left( \frac{1}{2}x^2 - 0 \right) = \frac{1}{2}x^3

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次に、外側の積分を計算します。

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\int_0^2 \frac{1}{2}x^3 \, dx = \frac{1}{2} \int_0^2 x^3 \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{4}x^4 \right]_0^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4}(2^4) - 0 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \cdot 16 \right) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2

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3. 最終的な答え

$\iint_D xy \, dxdy = 2$