$f(x) = x^2 - 2ax + 4a^2$ とする。 (1) 放物線 $C: y = f(x)$ の頂点を $A$ とし、直線 $OA$ と $C$ の交点のうち $A$ と異なる点を $P(p, f(p))$ とする。原点 $O$ から $C$ に引いた接線の接点を $Q(q, f(q))$ とする。$p, q$ の値を $a$ を用いて表し、$p > q$ であることを示す。 (2) 放物線 $C$ の $q \le x \le p$ の部分、線分 $OP$, 線分 $OQ$ で囲まれた図形の面積を $S$ とおく。$S$ を $a$ を用いて表す。 (3) (2) の $S$ に対し、$S = \frac{2}{3}$ となるときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 - 2ax + 4a^2$ とする。

(1) 放物線 $C: y = f(x)$ の頂点を $A$ とし、直線 $OA$ と $C$ の交点のうち $A$ と異なる点を $P(p, f(p))$ とする。原点 $O$ から $C$ に引いた接線の接点を $Q(q, f(q))$ とする。$p, q$ の値を $a$ を用いて表し、$p > q$ であることを示す。

(2) 放物線 $C$ の $q \le x \le p$ の部分、線分 $OP$, 線分 $OQ$ で囲まれた図形の面積を $S$ とおく。$S$ を $a$ を用いて表す。

(3) (2) の $S$ に対し、$S = \frac{2}{3}$ となるときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = (x-a)^2 + 3a^2$

よって、頂点 $A$ の座標は $(a, 3a^2)$ である。

直線 $OA$ の方程式は $y = 3ax$ である。

$y = f(x)$ と $y = 3ax$ の交点の $x$ 座標は

$x^2 - 2ax + 4a^2 = 3ax$

$x^2 - 5ax + 4a^2 = 0$

$(x - a)(x - 4a) = 0$

$x = a, 4a$

$P$ は $A$ と異なる点なので、$p = 4a$ である。

このとき、$f(p) = f(4a) = (4a)^2 - 2a(4a) + 4a^2 = 16a^2 - 8a^2 + 4a^2 = 12a^2$

よって、$P(4a, 12a^2)$ である。

次に、$Q$ の座標を求める。$f'(x) = 2x - 2a$

点 $Q(q, f(q))$ における接線の方程式は

$y - f(q) = f'(q)(x - q)$

$y - (q^2 - 2aq + 4a^2) = (2q - 2a)(x - q)$

この接線が原点を通るので、

$0 - (q^2 - 2aq + 4a^2) = (2q - 2a)(0 - q)$

$-q^2 + 2aq - 4a^2 = -2q^2 + 2aq$

$q^2 - 4a^2 = 0$

$(q - 2a)(q + 2a) = 0$

$q = 2a, -2a$

$q > 0$ より、$q = 2a$ である。

$f(q) = f(2a) = (2a)^2 - 2a(2a) + 4a^2 = 4a^2 - 4a^2 + 4a^2 = 4a^2$

よって、$Q(2a, 4a^2)$ である。

$p = 4a$, $q = 2a$ より、$a > 0$ なので、$p > q$ である。

(2)

$S = \int_q^p f(x) dx - (\text{三角形 } OAP \text{の面積}) + (\text{三角形 } OAQ \text{の面積})$

線分 $OP$ の方程式は $y = 3ax$, 線分 $OQ$ の方程式は $y = 2ax$ である。

$S = \int_{2a}^{4a} (x^2 - 2ax + 4a^2) dx - \frac{1}{2} \cdot (4a) \cdot (12a^2) + \frac{1}{2} \cdot (2a) \cdot (4a^2)$

$S = \left[\frac{1}{3}x^3 - ax^2 + 4a^2x\right]_{2a}^{4a} - 24a^3 + 4a^3$

$S = \left(\frac{64a^3}{3} - 16a^3 + 16a^3\right) - \left(\frac{8a^3}{3} - 4a^3 + 8a^3\right) - 20a^3$

$S = \frac{56}{3}a^3 - 4a^3 - 20a^3 = (\frac{56}{3} - 24)a^3 = (\frac{56 - 72}{3})a^3 = -\frac{16}{3}a^3$

これは誤り。面積なので正になるはず。

線分 OP の方程式は y = 3ax

線分 OQ の方程式は y = 2ax

$S = \int_{q}^{p} f(x)dx - \frac{1}{2} p f(p) + \frac{1}{2} q f(q) = \int_{2a}^{4a} (x^2-2ax+4a^2)dx - \frac{1}{2} 4a \cdot 12 a^2 + \frac{1}{2} 2a \cdot 4 a^2$

$= \int_{2a}^{4a} (x^2-2ax+4a^2)dx - 24 a^3 + 4 a^3 = [\frac{x^3}{3} - ax^2 + 4 a^2 x ]_{2a}^{4a} - 20 a^3$

$= (\frac{64 a^3}{3} - 16 a^3 + 16 a^3) - (\frac{8 a^3}{3} - 4 a^3 + 8 a^3) - 20 a^3$

$= \frac{56}{3} a^3 - 4 a^3 - 20 a^3 = \frac{56-12-60}{3}a^3 = \frac{-16}{3}a^3$

$S = \int_q^p f(x) dx - (\text{三角形 } OAP \text{の面積}) + (\text{三角形 } OAQ \text{の面積})$

$S = \int_{2a}^{4a} (x^2 - 2ax + 4a^2 - 3ax + 2ax) dx$

$S = \int_{2a}^{4a} (x^2 - 3ax + 4a^2)dx$

$y = 3ax$, $y = 2ax$

S = $\int_{q}^{p} f(x)dx - \int_{q}^{p} 2ax dx$

S = $\int_{q}^{p} x^{2} - 4ax + 4a^{2} dx$

S = $\int_{2a}^{4a} x^{2} - 4ax + 4a^{2} dx$

$= [\frac{x^3}{3} - \frac{4ax^2}{2} + 4a^2 x ]_{2a}^{4a}$

$= [\frac{x^3}{3} - 2ax^2 + 4a^2 x ]_{2a}^{4a}$

$= \frac{64}{3}a^{3} - 2a(16a^{2}) + 4a^{2}4a - \frac{8}{3} a^{3} + 2a(4a^{2}) - 4a^{2}2a$

$= \frac{64}{3}a^{3} - 32 a^{3} + 16 a^{3} - \frac{8}{3} a^{3} + 8 a^{3} - 8 a^{3} = \frac{56}{3} a^{3} - 16a^3 = \frac{56 - 48}{3}a^{3}$

S = $\frac{8}{3} a^{3}$

(3)

$\frac{8}{3}a^3 = \frac{2}{3}$

$8a^3 = 2$

$a^3 = \frac{1}{4}$

$a = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $p = 4a, q = 2a$, $p > q$

(2) $S = \frac{8}{3}a^3$

(3) $a = \frac{\sqrt[3]{2}}{2}$