領域 $D$ が $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le x^2$ で与えられているとき、重積分 $\iint_D y \, dx \, dy$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

領域 $D$ が $0 \le x \le 1$, $0 \le y \le x^2$ で与えられているとき、重積分 $\iint_D y \, dx \, dy$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、重積分を累次積分として表します。$D$ の定義から、$x$ は $0$ から $1$ まで、$y$ は $0$ から $x^2$ まで積分します。したがって、重積分は次のようになります。

$$$$

\iint_D y \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^{x^2} y \, dy \, dx

$$$$

次に、内側の積分を計算します。

$$$$

\int_0^{x^2} y \, dy = \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_0^{x^2} = \frac{1}{2} (x^2)^2 - \frac{1}{2} (0)^2 = \frac{1}{2} x^4

$$$$

これを外側の積分に代入します。

$$$$

\int_0^1 \frac{1}{2} x^4 \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 x^4 \, dx

$$$$

外側の積分を計算します。

$$$$

\frac{1}{2} \int_0^1 x^4 \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{5} x^5 \right]_0^1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} (1)^5 - \frac{1}{5} (0)^5 \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}

$$$$

したがって、重積分の値は $\frac{1}{10}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{10}$