全体集合$U$を1から100までの自然数の集合とし、その部分集合$A, B, C$をそれぞれ偶数、3の倍数、4の倍数の集合と定義する。 (1) 集合$A, B, C$の関係を表す図を4つの選択肢から選ぶ。 (2) $C$の補集合を$\overline{C}$と表すとき、以下の条件がそれぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもないかを答える。 (イ) $x \in C$ は $x \in A \cap B$ であるための (ウ) $x \in A \cap \overline{C}$ は $x \in A$ であるための (エ) $x \in A \cup B$ は「$x \in A \cap \overline{C}$ または $x \in B$」であるための (オ) $x \in A \cup B$ は「$x \in A$ または $x \in B \cap \overline{C}$」であるための

1. 問題の内容

全体集合$U$を1から100までの自然数の集合とし、その部分集合$A, B, C$をそれぞれ偶数、3の倍数、4の倍数の集合と定義する。

(1) 集合$A, B, C$の関係を表す図を4つの選択肢から選ぶ。

(2) $C$の補集合を$\overline{C}$と表すとき、以下の条件がそれぞれ必要条件、十分条件、必要十分条件、いずれでもないかを答える。

(イ) $x \in C$ は $x \in A \cap B$ であるための

(ウ) $x \in A \cap \overline{C}$ は $x \in A$ であるための

(エ) $x \in A \cup B$ は「$x \in A \cap \overline{C}$ または $x \in B$」であるための

(オ) $x \in A \cup B$ は「$x \in A$ または $x \in B \cap \overline{C}$」であるための

2. 解き方の手順

(1)

* $A$は偶数の集合、$B$は3の倍数の集合、$C$は4の倍数の集合である。

* 4の倍数は必ず偶数であるため、$C \subset A$が成り立つ。

* 3の倍数と4の倍数の間に包含関係はない。

* 選択肢の中で、$C \subset A$を満たし、$B$と$C$の間に包含関係がないのは、0である。

(2)

(イ)

* $x \in C$ ならば、$x$は4の倍数。4の倍数は偶数であり、3の倍数であるとは限らない。

* $x \in A \cap B$ ならば、$x$は偶数かつ3の倍数。これは$x$が6の倍数であることを意味する。

* $x$が4の倍数ならば、$x$は偶数であり、3の倍数であるとは限らない。

* $x$が偶数かつ3の倍数ならば、$x$は4の倍数であるとは限らない。

* したがって、必要条件でも十分条件でもない。 答えは3。

(ウ)

* $x \in A \cap \overline{C}$ は、$x$が偶数で、かつ4の倍数ではないことを意味する。

* $x \in A$ は、$x$が偶数であることを意味する。

* $x$が偶数で4の倍数でないならば、$x$は偶数である。

* したがって、十分条件であるが、必要条件ではない。答えは2。

(エ)

* $x \in A \cup B$ は、$x$が偶数または3の倍数であることを意味する。

* 「$x \in A \cap \overline{C}$ または $x \in B$」は、$x$が偶数で4の倍数でないか、または3の倍数であることを意味する。

* $x \in A \cup B$ ならば、$x \in A$ または $x \in B$ である。もし$x \in A$ならば、$x$が4の倍数なら$x \not\in (A \cap \overline{C})$、そうでなければ、$x \in A \cap \overline{C}$。よって $x \in A \cap \overline{C}$ または $x \in B$。

* 逆に、$x \in A \cap \overline{C}$ ならば、$x \in A$ なので $x \in A \cup B$。$x \in B$ ならば $x \in A \cup B$。よって「$x \in A \cap \overline{C}$ または $x \in B$」ならば $x \in A \cup B$。

* したがって、必要十分条件である。答えは0。

(オ)

* $x \in A \cup B$ は、$x$が偶数または3の倍数であることを意味する。

* 「$x \in A$ または $x \in B \cap \overline{C}$」は、$x$が偶数であるか、または3の倍数で4の倍数でないことを意味する。

* $x \in A \cup B$ ならば、$x \in A$ または $x \in B$ である。

* $x \in A$ ならば「$x \in A$ または $x \in B \cap \overline{C}$」は成り立つ。

* $x \in B$ のとき、$x$が4の倍数ならば$x \not \in (B \cap \overline{C})$、$x$が4の倍数でなければ $x \in B \cap \overline{C}$。

したがって、必ずしも $x \in A$ または $x \in B \cap \overline{C}$ とは限らない。

例： $x=6$ は $A \cup B$ に含まれるが、$A \cap \overline{C} = A \cap \overline{\{4の倍数\}}$ で $x \in B$ で $x$は４の倍数ではないので $x \in (B \cap \overline{C})$ つまり、$x \in B \cap \overline{C}$ となり、$x \in A$ または $x \in B \cap \overline{C}$は成り立つ。

* 「$x \in A$ または $x \in B \cap \overline{C}$」 ならば、$x \in A$ ならば $x \in A \cup B$、$x \in B \cap \overline{C}$ ならば $x \in B$ なので $x \in A \cup B$。

* したがって、十分条件であるが、必要条件ではない。答えは2。

3. 最終的な答え

ア：0

イ：3

ウ：2

エ：0

オ：2