全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ について、以下の情報が与えられています。 $n(U) = 50$ $n(A \cup B) = 42$ $n(A \cap B) = 3$ $n(\overline{A} \cap B) = 15$ これらの情報を用いて、以下の個数を求めます。 (1) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ (2) $n(A \cap \overline{B})$ (3) $n(A)$ (4) $n(B)$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ とその部分集合 $A$, $B$ について、以下の情報が与えられています。

$n(U) = 50$

$n(A \cup B) = 42$

$n(A \cap B) = 3$

$n(\overline{A} \cap B) = 15$

これらの情報を用いて、以下の個数を求めます。

(1) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

(2) $n(A \cap \overline{B})$

(3) $n(A)$

(4) $n(B)$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ について

ド・モルガンの法則より $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$。

したがって、 $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 50 - 42 = 8$

(2) $n(A \cap \overline{B})$ について

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = n(A \cap \overline{B}) + n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap B)$

$42 = n(A \cap \overline{B}) + 15 + 3$

$n(A \cap \overline{B}) = 42 - 15 - 3 = 24$

(3) $n(A)$ について

$n(A) = n(A \cap \overline{B}) + n(A \cap B)$

$n(A) = 24 + 3 = 27$

(4) $n(B)$ について

$n(B) = n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap B)$

$n(B) = 15 + 3 = 18$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 8$

(2) $n(A \cap \overline{B}) = 24$

(3) $n(A) = 27$

(4) $n(B) = 18$