海外旅行者100人のうち、75人が風邪薬を、80人が胃薬を携帯していた。このとき、以下の問いに答えます。 (1) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯した人は最も多くて何人か。また、最も少なくて何人か。 (2) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人は何人か。

1. 問題の内容

海外旅行者100人のうち、75人が風邪薬を、80人が胃薬を携帯していた。このとき、以下の問いに答えます。

(1) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯した人は最も多くて何人か。また、最も少なくて何人か。

(2) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人は何人か。

2. 解き方の手順

(1) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯した人の数について考えます。

* **最も多い場合:** 風邪薬を携帯している人(75人)が全員、胃薬も携帯している場合です。このとき、風邪薬と胃薬を両方とも携帯している人は75人です。

* **最も少ない場合:** 風邪薬を携帯している人の集合をA, 胃薬を携帯している人の集合をBとします。全体の人数をUとすると、$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$が成り立ちます。$|A \cup B|$は最大で100人なので、$100 = 75 + 80 - |A \cap B|$となります。よって、$|A \cap B| = 75 + 80 - 100 = 55$人となります。

(2) 風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人の数を求めます。

* 風邪薬を携帯している人の集合をA、胃薬を携帯している人の集合をBとすると、風邪薬または胃薬を携帯している人の数は $|A \cup B|$ です。したがって、風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人の数は全体の人数から $|A \cup B|$ を引いた数になります。

* $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ であり、(1)で $|A \cap B|$ の最小値は55であると求まっています。したがって、$|A \cup B|$ の最大値は $75 + 80 - 55 = 100$ となります。

* 全体の人数は100人なので、風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人の数は最小で $100 - 100 = 0$ 人となります。

* 一方、風邪薬と胃薬を両方とも携帯している人が最大で75人のとき、$|A \cup B| = 75 + 80 - 75 = 80$ となります。したがって、風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人の数は最大で $100 - 80 = 20$ 人となります。

しかし、問題文に「風邪薬と胃薬を両方とも携帯していない人」が単に何人かを聞いているので、上記のように場合分けして考える必要はありません。 $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ より、$|A \cup B| = 75 + 80 - |A \cap B| = 155 - |A \cap B|$。$|A \cup B|$は最大で100なので、$155 - |A \cap B| \le 100$。 よって、$|A \cap B| \ge 55$。$|A \cap B|$ の最小値は55。

また、$|A \cap B|$ が最小のとき、$|A \cup B|$ が最大となり、両方とも携帯していない人は最小となる。このとき、$|A \cup B| = 100$ なので、両方とも携帯していない人は $100 - 100 = 0$ 人。

3. 最終的な答え

(1) 最も多い: 75人、最も少ない: 55人

(2) 0人