複素数 $z$ が $|z-1-i| = \sqrt{2}|z+1+i|$ を満たしながら動くとき、$|z-i|$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $|z-1-i| = \sqrt{2}|z+1+i|$ を満たしながら動くとき、$|z-i|$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$z = x+yi$ (x, yは実数) とおくと、与えられた条件は

$|x+yi-1-i| = \sqrt{2}|x+yi+1+i|$

$|(x-1)+(y-1)i| = \sqrt{2}|(x+1)+(y+1)i|$

$\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{2}\sqrt{(x+1)^2 + (y+1)^2}$

両辺を2乗して

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2((x+1)^2 + (y+1)^2)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 2(x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1)$

$x^2 - 2x + y^2 - 2y + 2 = 2x^2 + 4x + 2y^2 + 4y + 4$

$0 = x^2 + 6x + y^2 + 6y + 2$

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 6y + 9) = -2 + 9 + 9$

$(x+3)^2 + (y+3)^2 = 16 = 4^2$

これは、中心が $(-3, -3)$、半径が $4$ の円を表す。

$|z-i| = |x+yi-i| = |x+(y-1)i| = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$

これは点 $(x,y)$ と点 $(0, 1)$ の距離を表す。

円の中心 $(-3, -3)$ と点 $(0, 1)$ の距離は

$\sqrt{(-3-0)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

求める最大値は、円の中心からの距離に半径を足したものであるから

$5 + 4 = 9$

3. 最終的な答え

9