放物線 $y = x^2 - 4x + 3$ を平行移動して、原点を通るようにした放物線の方程式を求める問題です。 (1) $y$軸方向への平行移動の場合 (2) $x$軸方向への平行移動の場合 の2パターンについて解答します。

代数学放物線平行移動二次関数方程式
2025/7/10

1. 問題の内容

放物線 y=x24x+3y = x^2 - 4x + 3 を平行移動して、原点を通るようにした放物線の方程式を求める問題です。
(1) yy軸方向への平行移動の場合
(2) xx軸方向への平行移動の場合
の2パターンについて解答します。

2. 解き方の手順

(1) yy軸方向への平行移動の場合
放物線 y=x24x+3y = x^2 - 4x + 3yy軸方向にkkだけ平行移動した式は、
y=x24x+3+ky = x^2 - 4x + 3 + k
となります。これが原点(0,0)(0, 0)を通るためには、x=0x = 0, y=0y = 0を代入したときに等式が成り立つ必要があります。
0=0240+3+k0 = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 + k
0=3+k0 = 3 + k
k=3k = -3
したがって、yy軸方向に3-3だけ平行移動すればよいので、求める放物線の方程式は、
y=x24x+33y = x^2 - 4x + 3 - 3
y=x24xy = x^2 - 4x
となります。
(2) xx軸方向への平行移動の場合
放物線 y=x24x+3y = x^2 - 4x + 3xx軸方向にllだけ平行移動した式は、
y=(xl)24(xl)+3y = (x - l)^2 - 4(x - l) + 3
となります。これが原点(0,0)(0, 0)を通るためには、x=0x = 0, y=0y = 0を代入したときに等式が成り立つ必要があります。
0=(0l)24(0l)+30 = (0 - l)^2 - 4(0 - l) + 3
0=l2+4l+30 = l^2 + 4l + 3
0=(l+1)(l+3)0 = (l + 1)(l + 3)
l=1,3l = -1, -3
したがって、xx軸方向に1-1または3-3だけ平行移動すればよいので、求める放物線の方程式は、
l=1l=-1のとき、y=(x+1)24(x+1)+3=x2+2x+14x4+3=x22xy = (x + 1)^2 - 4(x + 1) + 3 = x^2 + 2x + 1 - 4x - 4 + 3 = x^2 - 2x
l=3l=-3のとき、y=(x+3)24(x+3)+3=x2+6x+94x12+3=x2+2xy = (x + 3)^2 - 4(x + 3) + 3 = x^2 + 6x + 9 - 4x - 12 + 3 = x^2 + 2x
よって、求める放物線の方程式は、y=x22xy = x^2 - 2xまたはy=x2+2xy = x^2 + 2xとなります。

3. 最終的な答え

(1) y=x24xy = x^2 - 4x
(2) y=x22xy = x^2 - 2x, y=x2+2xy = x^2 + 2x

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