与えられた6つの2次関数について、軸と頂点を求め、どちらに凸かを答える。

1. 問題の内容

与えられた6つの2次関数について、軸と頂点を求め、どちらに凸かを答える。

2. 解き方の手順

2次関数 $y = ax^2 + bx + c$ は、平方完成によって $y = a(x - p)^2 + q$ の形に変形できる。このとき、軸は $x = p$ であり、頂点は $(p, q)$ である。また、$a > 0$ ならば下に凸、$a < 0$ ならば上に凸である。

各関数について、以下の手順で軸と頂点を求める。

(1) $y = -2x^2 + 3$

$y = -2(x - 0)^2 + 3$ より、軸は $x = 0$、頂点は $(0, 3)$、上に凸。

(2) $y = x^2 - 2x + 1$

$y = (x - 1)^2 + 0$ より、軸は $x = 1$、頂点は $(1, 0)$、下に凸。

(3) $y = x^2 + 3x + 1$

$y = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$ より、軸は $x = -\frac{3}{2}$、頂点は $(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{4})$、下に凸。

(4) $y = -x^2 - 8x - 5$

$y = -(x^2 + 8x) - 5 = -(x + 4)^2 + 16 - 5 = -(x + 4)^2 + 11$ より、軸は $x = -4$、頂点は $(-4, 11)$、上に凸。

(5) $y = -3x^2 + 6x - 3$

$y = -3(x^2 - 2x) - 3 = -3(x - 1)^2 + 3 - 3 = -3(x - 1)^2 + 0$ より、軸は $x = 1$、頂点は $(1, 0)$、上に凸。

(6) $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 5$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x) + 5 = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 2 + 5 = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 3$ より、軸は $x = 2$、頂点は $(2, 3)$、下に凸。

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = 0$, 頂点: $(0, 3)$, 上に凸

(2) 軸: $x = 1$, 頂点: $(1, 0)$, 下に凸

(3) 軸: $x = -\frac{3}{2}$, 頂点: $(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{4})$, 下に凸

(4) 軸: $x = -4$, 頂点: $(-4, 11)$, 上に凸

(5) 軸: $x = 1$, 頂点: $(1, 0)$, 上に凸

(6) 軸: $x = 2$, 頂点: $(2, 3)$, 下に凸