整式 $P(x)$ が与えられており、以下の条件を満たします。 * $P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると、余りは $-x+4$ である。 * $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると、余りは $2x+5$ である。 このとき、以下の問いに答えます。 (1) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)$ で割ったときの余りを求めよ。 (2) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)^2$ で割ったときの余りを求めよ。

1. 問題の内容

整式 $P(x)$ が与えられており、以下の条件を満たします。

* $P(x)$ を $(x+1)^2$ で割ると、余りは $-x+4$ である。

* $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると、余りは $2x+5$ である。

このとき、以下の問いに答えます。

(1) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)$ で割ったときの余りを求めよ。

(2) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)^2$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおく。

すると、ある整式 $Q(x)$ を用いて、

$P(x) = (x+1)(x-1)Q(x) + ax+b$

と表せる。

条件より、$P(-1) = -(-1) + 4 = 5$、$P(1) = 2(1) + 5 = 7$ である。

これらを代入すると、

$P(-1) = -a + b = 5$

$P(1) = a + b = 7$

2つの式を連立して解くと、

$2b = 12$ より $b=6$。

$a = 7-b = 7-6 = 1$

したがって、余りは $x+6$ となる。

(2) $P(x)$ を $(x+1)(x-1)^2$ で割ったときの余りを $R(x)$ とおくと、ある整式 $S(x)$ を用いて

$P(x) = (x+1)(x-1)^2S(x) + R(x)$

と表せる。$R(x)$ は2次以下の整式である。

$(x-1)^2$で割った時の余りが$2x+5$なので、$R(x) = a(x-1)^2 + 2x+5$とおける。

$P(x) = (x+1)(x-1)^2S(x) + a(x-1)^2 + 2x+5$

$x=-1$を代入すると、$P(-1) = a(-2)^2 + 2(-1)+5 = 4a+3$

条件より、$P(-1) = -(-1)+4 = 5$なので、$4a+3 = 5$

$4a = 2$

$a = \frac{1}{2}$

したがって、

$R(x) = \frac{1}{2}(x-1)^2 + 2x+5 = \frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1) + 2x+5 = \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} + 2x+5 = \frac{1}{2}x^2 + x + \frac{11}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x+6$

(2) $\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{11}{2}$