問題は2つあります。 (1) $(x+1)^{17}$ の展開式における $x^2$ の係数を求めよ。 (2) $17^{17}$ を $256$ で割った余りを求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $(x+1)^{17}$ の展開式における $x^2$ の係数を求めよ。

(2) $17^{17}$ を $256$ で割った余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $(x+1)^{17}$ の展開式における $x^2$ の項は、二項定理より

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\binom{17}{2} x^2 \cdot 1^{15} = \frac{17 \cdot 16}{2 \cdot 1} x^2 = 17 \cdot 8 x^2 = 136x^2

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したがって、$x^2$ の係数は136です。

(2) $17^{17}$ を $256$ で割った余りを求める。$256 = 2^8$ であることを利用する。

$17 = 2^4 + 1$ であるから、$17 = 16+1$ と考えて二項定理を利用する。

$17^{17} = (16+1)^{17}$ を展開すると、

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(16+1)^{17} = \sum_{k=0}^{17} \binom{17}{k} 16^k 1^{17-k} = \sum_{k=0}^{17} \binom{17}{k} 16^k

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$17^{17}$ を $256 = 16^2$ で割った余りを求めるので、$k \ge 2$ の項は $256$ で割り切れる。したがって、$k=0$ と $k=1$ の項のみ考えればよい。

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(16+1)^{17} \equiv \binom{17}{0} 16^0 + \binom{17}{1} 16^1 \pmod{256}

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17^{17} \equiv 1 + 17 \cdot 16 \pmod{256}

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17^{17} \equiv 1 + 272 \pmod{256}

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17^{17} \equiv 1 + 16 \pmod{256}

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17^{17} \equiv 17 \pmod{256}

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したがって、$17^{17}$ を $256$ で割った余りは $17$ です。

3. 最終的な答え

(1) $x^2$ の係数は $136$

(2) $17^{17}$ を $256$ で割った余りは $17$