与えられた二次方程式を解の公式を用いて解く問題です。4つの方程式は以下の通りです。 (1) $3x^2 + x - 1 = 0$ (2) $x^2 - 6x - 1 = 0$ (3) $3x^2 - 6x + 2 = 0$ (4) $x^2 - 8x + 4 = 0$

代数学二次方程式解の公式根の公式
2025/7/10

1. 問題の内容

与えられた二次方程式を解の公式を用いて解く問題です。4つの方程式は以下の通りです。
(1) 3x2+x1=03x^2 + x - 1 = 0
(2) x26x1=0x^2 - 6x - 1 = 0
(3) 3x26x+2=03x^2 - 6x + 2 = 0
(4) x28x+4=0x^2 - 8x + 4 = 0

2. 解き方の手順

二次方程式 ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 の解は、解の公式を用いて以下のように求められます。
x=b±b24ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
(1) 3x2+x1=03x^2 + x - 1 = 0の場合:
a=3a = 3, b=1b = 1, c=1c = -1
x=1±124(3)(1)2(3)x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)}
x=1±1+126x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{6}
x=1±136x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{6}
(2) x26x1=0x^2 - 6x - 1 = 0の場合:
a=1a = 1, b=6b = -6, c=1c = -1
x=(6)±(6)24(1)(1)2(1)x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}
x=6±36+42x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 4}}{2}
x=6±402x = \frac{6 \pm \sqrt{40}}{2}
x=6±2102x = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2}
x=3±10x = 3 \pm \sqrt{10}
(3) 3x26x+2=03x^2 - 6x + 2 = 0の場合:
a=3a = 3, b=6b = -6, c=2c = 2
x=(6)±(6)24(3)(2)2(3)x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)}
x=6±36246x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6}
x=6±126x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6}
x=6±236x = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6}
x=3±33x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}
(4) x28x+4=0x^2 - 8x + 4 = 0の場合:
a=1a = 1, b=8b = -8, c=4c = 4
x=(8)±(8)24(1)(4)2(1)x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)}
x=8±64162x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2}
x=8±482x = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2}
x=8±432x = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2}
x=4±23x = 4 \pm 2\sqrt{3}

3. 最終的な答え

(1) x=1±136x = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{6}
(2) x=3±10x = 3 \pm \sqrt{10}
(3) x=3±33x = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}
(4) x=4±23x = 4 \pm 2\sqrt{3}

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