与えられた式 $a^2 - 4b^2 - 16 + 16b$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 - 4b^2 - 16 + 16b$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

与えられた式を以下のように並べ替えます。

$a^2 - 4b^2 - 16 + 16b = a^2 - (4b^2 - 16b + 16)$

括弧の中身を因数分解します。$4b^2 - 16b + 16 = 4(b^2 - 4b + 4)$

ここで、$b^2 - 4b + 4$ は $(b-2)^2$ と因数分解できます。

したがって、$4(b^2 - 4b + 4) = 4(b-2)^2 = [2(b-2)]^2 = (2b-4)^2$となります。

与えられた式は、次のようになります。

$a^2 - (2b-4)^2$

これは、$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$の形の差の二乗の因数分解を利用できます。ここで、$A = a$ と $B = 2b - 4$ です。

したがって、$a^2 - (2b-4)^2 = (a + (2b - 4))(a - (2b - 4))$

$= (a + 2b - 4)(a - 2b + 4)$

3. 最終的な答え

$(a + 2b - 4)(a - 2b + 4)$