以下の2つの式を簡単にします。ここで、$n$ は自然数とします。 (1) $2(-ab)^n + 3(-1)^{n+1}a^nb^n + a^n(-b)^n$ (2) $(a+b+c)^2 - (a-b+c)^2 + (a+b-c)^2 - (a-b-c)^2$

1. 問題の内容

以下の2つの式を簡単にします。ここで、$n$ は自然数とします。

(1) $2(-ab)^n + 3(-1)^{n+1}a^nb^n + a^n(-b)^n$

(2) $(a+b+c)^2 - (a-b+c)^2 + (a+b-c)^2 - (a-b-c)^2$

2. 解き方の手順

(1)

場合分けをします。

$n$ が偶数のとき、$(-1)^n = 1$ なので、

$2(-ab)^n + 3(-1)^{n+1}a^nb^n + a^n(-b)^n = 2(ab)^n - 3a^nb^n + a^n(b)^n = 2a^nb^n - 3a^nb^n + a^nb^n = 0$

$n$ が奇数のとき、$(-1)^n = -1$ なので、

$2(-ab)^n + 3(-1)^{n+1}a^nb^n + a^n(-b)^n = 2(-1)^n(ab)^n + 3(-1)^{n+1}a^nb^n + a^n(-1)^n(b)^n = -2a^nb^n + 3a^nb^n - a^nb^n = 0$

よって、$n$ が偶数でも奇数でも、答えは0になります。

(2)

$(a+b+c)^2 - (a-b+c)^2 + (a+b-c)^2 - (a-b-c)^2$

$= ((a+c) + b)^2 - ((a+c) - b)^2 + ((a-c) + b)^2 - ((a-c) - b)^2$

ここで、$(x+y)^2 - (x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 4xy$ という公式を利用します。

$= 4(a+c)b + 4(a-c)b = 4ab + 4bc + 4ab - 4bc = 8ab$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $8ab$