正の奇数の列を、第n群にはn個の数が入るように群に分ける。 (1) $n \geq 2$ のとき、第n群の最初の数をnの式で表す。 (2) 第15群に入るすべての数の和Sを求める。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第n群にはn個の数が入るように群に分ける。

(1) $n \geq 2$ のとき、第n群の最初の数をnの式で表す。

(2) 第15群に入るすべての数の和Sを求める。

2. 解き方の手順

(1) 第n群の最初の数を求める。

数列全体の項数を考える。第1群から第(n-1)群までの項数の和は、

$1 + 2 + 3 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$

したがって、第n群の最初の数は、数列全体で $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目の数となる。

奇数の数列は、一般項が $2k-1$ で表される。

よって、第n群の最初の数は、

$2(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = (n-1)n + 2 - 1 = n^2 - n + 1$

(2) 第15群に入るすべての数の和Sを求める。

第15群の最初の数は、$15^2 - 15 + 1 = 225 - 15 + 1 = 211$

第15群には15個の数が入るので、第15群の最後の数は、

$211 + (15-1) \times 2 = 211 + 28 = 239$

等差数列の和の公式 $S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ を用いると、

$S = \frac{15(211 + 239)}{2} = \frac{15 \times 450}{2} = 15 \times 225 = 3375$

3. 最終的な答え

(1) $n^2 - n + 1$

(2) $3375$