正の奇数の列を、第n群にn個の数が入るように群に分ける。 (1) $n \ge 2$ のとき、第n群の最初の数をnの式で表せ。 (2) 第15群に入るすべての数の和Sを求めよ。

1. 問題の内容

正の奇数の列を、第n群にn個の数が入るように群に分ける。

(1) $n \ge 2$ のとき、第n群の最初の数をnの式で表せ。

(2) 第15群に入るすべての数の和Sを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第n群の最初の数を求める。

第n群の最初の数は、第(n-1)群までの項数に1を加えた項の奇数である。

第(n-1)群までの項数は、

$1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = \frac{(n-1)n}{2}$

したがって、第n群の最初の数は、全体の $\frac{(n-1)n}{2} + 1$ 番目の奇数である。

奇数は $2k - 1$ で表されるので、$k = \frac{(n-1)n}{2} + 1$ を代入すると、

$2(\frac{(n-1)n}{2} + 1) - 1 = n(n-1) + 2 - 1 = n^2 - n + 1$

(2) 第15群に入るすべての数の和Sを求める。

第15群の最初の数は、(1)より、$15^2 - 15 + 1 = 225 - 15 + 1 = 211$

第15群には15個の数が入るので、第15群の最後の数は、全体の

$\frac{(15-1)15}{2} + 15 = \frac{14 \cdot 15}{2} + 15 = 7 \cdot 15 + 15 = 8 \cdot 15 = 120$

番目の奇数である。その数は、 $2 \cdot 120 - 1 = 240 - 1 = 239$

したがって、第15群は211, 213, ..., 239という等差数列である。

この数列の和Sは、

$S = \frac{15}{2}(211 + 239) = \frac{15}{2}(450) = 15 \cdot 225 = 3375$

3. 最終的な答え

(1) $n^2 - n + 1$

(2) $3375$