4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。先生は常に一定の手を出し、生徒はそれぞれランダムに手を出す。勝ち残った生徒のみが次のじゃんけんに参加する。問題は、じゃんけんの各回における特定の生徒が勝ち残る確率や、残った人数の期待値を求めるものである。

1. 問題の内容

4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする。先生は常に一定の手を出し、生徒はそれぞれランダムに手を出す。勝ち残った生徒のみが次のじゃんけんに参加する。問題は、じゃんけんの各回における特定の生徒が勝ち残る確率や、残った人数の期待値を求めるものである。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率

先生の手が何かによって場合分けして考えます。先生の手がグー、チョキ、パーのいずれの場合でも、太郎さんが勝つ確率は1/3です。したがって、太郎さんが1回目のじゃんけんで勝ち残る確率は $\frac{1}{3}$ です。

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率

先生がグーのとき、他の3人のうち2人がパーを出し、残りの1人がグー、チョキを出せば良い。

先生がチョキのとき、他の3人のうち2人がグーを出し、残りの1人がチョキ、パーを出せば良い。

先生がパーのとき、他の3人のうち2人がチョキを出し、残りの1人がパー、グーを出せば良い。

他の3人の手の出し方は3^3=27通り。

3人から2人を選ぶ方法は3C2=3通り。

残りの一人があいこになる出し方は2通り。

確率は

$3 \times \frac{3 \times 2}{3^3} = 3 \times \frac{6}{27} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は

1回目で太郎さんが勝ち残っていて、2回目も勝ち残る必要があります。

1回目で太郎さんが勝ち残る確率: 1/3

1回目で太郎さんが勝ち残る人数が1人の場合: 1/3 * (他の3人が全員あいこ) = 1/3 * (1/3 * 1/3 * 1/3) = 1/81

1回目で太郎さんが勝ち残る人数が2人の場合:

1回目で太郎さんが勝ち残る確率: $\frac{1}{3}$

1回目で太郎さん含め2人が勝ち残る確率を求める。先生の手がグーのとき、1人がパーを出すパターンを考えると3C1 * 2 * 2 / 27=12/27=4/9

このうち太郎さんが残る確率 $\frac{4}{9} * \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$

2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っていない確率は $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

2回目のじゃんけんの後、花子さんが勝ち残っている確率は $\frac{1}{3}$

2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$

2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値は

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は

3回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率は

3. 最終的な答え

(1) ア: 1/3, イ: 2/3

(2) カ: 1/3, キ: 2/3, ク: 1/3, ケ: 1/9, コサ:

(3) セ: , ソタ: , チツテト:

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