この問題は、4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする確率に関する問題です。生徒は先生に勝ち続ける限りじゃんけんに参加し、負けるかあいこの場合は次のじゃんけんに参加しません。問題文で定義されているルールのもとで、1回目、2回目、3回目のじゃんけんについて、特定の生徒が勝ち残る確率や勝ち残る人数の期待値などを計算します。

1. 問題の内容

この問題は、4人の生徒（太郎さん、花子さん、次郎さん、月子さん）が先生とじゃんけんをする確率に関する問題です。生徒は先生に勝ち続ける限りじゃんけんに参加し、負けるかあいこの場合は次のじゃんけんに参加しません。問題文で定義されているルールのもとで、1回目、2回目、3回目のじゃんけんについて、特定の生徒が勝ち残る確率や勝ち残る人数の期待値などを計算します。

2. 解き方の手順

(1) 1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率

先生の手に対して、太郎さんが勝つ手は1種類です。先生の手がグーなら太郎さんはパー、先生の手がチョキなら太郎さんはグー、先生の手がパーなら太郎さんはチョキを出せば勝ちます。先生の出す手はグー、チョキ、パーの3通りなので、太郎さんが勝つ確率は $1/3$ です。

したがって、ア = 1/3

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率

まず、4人の中から勝ち残る2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = 6$ 通りです。

2人が勝ち、残りの2人が負ける（またはあいこになる）確率は、先生の出す手を基準に考えます。

先生の手がグーの場合、2人がパーを出し、2人がグーかチョキを出す必要があります。

2人がパーを出す確率は $(1/3)^2$ で、残りの2人がグーかチョキを出す確率は $(2/3)^2$ です。

先生の手がチョキの場合、2人がグーを出し、残りの2人がチョキかパーを出す必要があります。

先生の手がパーの場合、2人がチョキを出し、残りの2人がグーかパーを出す必要があります。

どの手の時も確率は同じなので、求める確率は $6 \times (1/3)^2 \times (2/3)^2 = 6 \times (1/9) \times (4/9) = 24/81 = 8/27$ です。

したがって、ウ = 6, ア/イ = 1/3, 1 - ア/イ = 2/3, 答えは 8/27

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残ったとき、太郎さんが勝ち残っている条件付き確率

1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る事象をA, 太郎さんが勝ち残る事象をBとすると、求めたいものは $P(B|A) = P(A \cap B) / P(A)$ です。

$P(A)$ は、1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残る確率であり、これは上で計算した通り、$8/27$ です。

$P(A \cap B)$ は、1回目のじゃんけんでちょうど2人の生徒が勝ち残って、かつ太郎さんが勝ち残る確率です。

太郎さんとあと1人が勝ち残る組み合わせは、太郎さん以外の3人から1人を選ぶので、$_3C_1 = 3$ 通りです。

先生の手がグーの場合、太郎さんとあと1人がパーを出し、残りの2人がグーかチョキを出す必要があります。

太郎さんとあと1人がパーを出す確率は $(1/3)^2$ で、残りの2人がグーかチョキを出す確率は $(2/3)^2$ です。

先生の手がチョキの場合、太郎さんとあと1人がグーを出し、残りの2人がチョキかパーを出す必要があります。

先生の手がパーの場合、太郎さんとあと1人がチョキを出し、残りの2人がグーかパーを出す必要があります。

どの手の時も確率は同じなので、求める確率は $3 \times (1/3)^2 \times (2/3)^2 = 3 \times (1/9) \times (4/9) = 12/81 = 4/27$ です。

したがって、$P(B|A) = (4/27) / (8/27) = 4/8 = 1/2$

したがって、エ=1, オ=2

(2) 2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率

1回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残っている確率は1/3である。

太郎さんが勝ち残っている場合、2回目のじゃんけんをする。2回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率は1/3である。

1回目のじゃんけんで太郎さんが負けて、2回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残ることはない。

したがって、2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は1/3 * 1/3 = 1/9である。

したがって、カ = 1, キ = 9

2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っていない確率

2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は1/9である。

したがって、2回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っていない確率は 1 - 1/9 = 8/9である。

したがって、ク = 8, ケ = 9

2回目のじゃんけんの後、花子さんが勝ち残っている確率は1/9である。

2回目のじゃんけんの後、月子さんが勝ち残っていない確率は 8/9である。

したがって、カ/キ = 1/9, タ/ケ = 8/9

2回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率

太郎さんが勝ち残っていて、花子さんも勝ち残っている確率は 1/9 * 1/9 = 1/81

太郎さんと花子さんだけが勝ち残るためには、次郎さんと月子さんは負ける必要がある。

2回目のじゃんけんの後、次郎さんが負ける確率は 8/9である。2回目のじゃんけんの後、月子さんが負ける確率は 8/9である。

したがって、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は 1/9 * 1/9 * 8/9 * 8/9 = 64/6561

1回目に太郎さんと花子さんが残って、2回目も太郎さんと花子さんだけが残る確率を考えます。

1回目に太郎さんと花子さんだけが残る確率は、$1 \times (1/3)^2 \times (2/3)^2 \times {}_4C_2 = 1 \times (1/9) \times (4/9) \times 6 = 24/81 = 8/27$ です。

太郎さんと花子さんだけが残った場合、2回目に太郎さんと花子さんが先生に勝つ確率は、$(1/3) \times (1/3) = 1/9$ です。

したがって、太郎さんと花子さんの2人だけが勝ち残っている確率は $(8/27) \times (1/9) = 8/243$ です。

したがって、コ = 8, サ = 243

2回目のじゃんけんの後、勝ち残っている生徒の人数の期待値

勝ち残っている生徒は、0, 1, 2, 3, 4人である。

それぞれの確率を計算する必要がある。

(3) 3回目のじゃんけんの後、太郎さんが勝ち残っている確率は

2回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残っている確率 * 3回目のじゃんけんで太郎さんが勝ち残る確率

3回目のじゃんけんの後、太郎さんと花子さんの少なくとも一方が勝ち残っていて、かつ次郎さんと月子さんの少なくとも一方が勝ち残っている確率は

$3^{12}$

3. 最終的な答え

(1)

ア = 1/3

イ = 3

ウ = 6

エ = 1

オ = 2

(2)

カ/キ = 1/9

ク/ケ = 8/9

コ/サ = 8/243

シ/ス = （計算中）

(3)

セ/ソタ = （計算中）

チツテト/$3^{12}$ = （計算中）