問題は2つあります。 (2) (1) 図のA地点からB地点への最短経路は何通りあるか。 (2) 図のA地点からP地点を経由してB地点への最短経路は何通りあるか。 (3) 1から5の数字が書かれたカードがそれぞれ3枚ずつ、合計15枚ある。この中から2枚同時に引くとき、 (1) 1枚だけ奇数である確率を求めよ。 (2) 少なくとも1枚が奇数である確率を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に回答します。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(2)

(1) 図のA地点からB地点への最短経路は何通りあるか。

(2) 図のA地点からP地点を経由してB地点への最短経路は何通りあるか。

(3)

1から5の数字が書かれたカードがそれぞれ3枚ずつ、合計15枚ある。この中から2枚同時に引くとき、

(1) 1枚だけ奇数である確率を求めよ。

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(2)

(1) AからBへの最短経路は、右に4回、上に3回移動する必要があります。これは、7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数に等しいです。

したがって、最短経路の数は、

${}_7 C_4 = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り

(2) AからPへの最短経路は、右に2回、上に1回移動する必要があります。これは、3回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせの数に等しいです。

したがって、AからPへの最短経路の数は、

${}_3 C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り

PからBへの最短経路は、右に2回、上に2回移動する必要があります。これは、4回の移動のうち、右への移動を2回選ぶ組み合わせの数に等しいです。

したがって、PからBへの最短経路の数は、

${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

よって、AからPを経由してBへ行く最短経路の数は、

$3 \times 6 = 18$ 通り

(3)

(1) 1から5の数字が書かれたカードがそれぞれ3枚ずつあるので、奇数(1, 3, 5)のカードは9枚、偶数(2, 4)のカードは6枚あります。

2枚のカードを引く組み合わせの総数は、

${}_{15} C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ 通り

1枚だけ奇数である組み合わせは、奇数のカードを1枚、偶数のカードを1枚引く場合です。

奇数のカードを1枚引く組み合わせは9通り、偶数のカードを1枚引く組み合わせは6通りなので、1枚だけ奇数である組み合わせは、

$9 \times 6 = 54$ 通り

したがって、1枚だけ奇数である確率は、

$\frac{54}{105} = \frac{18}{35}$

(2) 少なくとも1枚が奇数である確率は、1 - (2枚とも偶数である確率)で求められます。

2枚とも偶数である組み合わせは、

${}_6 C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り

2枚とも偶数である確率は、

$\frac{15}{105} = \frac{1}{7}$

したがって、少なくとも1枚が奇数である確率は、

$1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$

3. 最終的な答え

(2)

(1) 35通り

(2) 18通り

(3)

(1) $\frac{18}{35}$

(2) $\frac{6}{7}$