3個のさいころを同時に投げて、出た目の最大値を $M$ とする。$M=4$ であったとき、少なくとも1個のさいころに1の目が出る条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

3個のさいころを同時に投げて、出た目の最大値を $M$ とする。$M=4$ であったとき、少なくとも1個のさいころに1の目が出る条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、$M=4$ となる場合の数を求める。これは、3つのサイコロの目がすべて4以下であり、少なくとも1つは4の目が出る場合である。4以下の目の出方は$4^3$通り。そのうち、すべての目が3以下である場合は$3^3$通り。よって、$M=4$となる場合の数は、

$4^3 - 3^3 = 64 - 27 = 37$ 通り。

次に、$M=4$であり、かつ少なくとも1つのさいころに1の目が出る場合の数を求める。これは、$M=4$である場合に、1の目が出ない場合を除けばよい。$M=4$で1の目が出ないということは、すべての目が2,3,4のいずれかである場合である。このうち、すべての目が2,3である場合は除かなければならない。

すべての目が2,3,4のいずれかである場合は$3^3=27$通り。すべての目が2,3である場合は$2^3=8$通り。よって、少なくとも1つは4の目が出る場合は、$3^3-2^3=27-8=19$通り。

$M=4$であり、かつ少なくとも1つは1の目が出る場合の数は、

$M=4$となるすべての場合の数から、1の目が出ない場合の数を引けばよい。

$M=4$の場合の数は37通り。

1の目が出ないということは、2,3,4のいずれかであるということ。この時、$M=4$となるのは、少なくとも1つは4の目が出ている必要がある。

すべての目が2,3,4のいずれかである場合は$3^3 = 27$通り。

そのうち、すべての目が3以下であるものは$3^3-1^3 = 2^3 = 8$通り（2,3のみ）を引く。 $27-8=19$.

ゆえに、$M=4$で1の目が出ないのは19通り。

$M=4$で少なくとも1つは1の目が出るのは$37 - 19 = 18$通り。

求める条件付き確率は、

$\frac{P(M=4 かつ 少なくとも1つが1)}{P(M=4)}$

$= \frac{\text{M=4 かつ 少なくとも1つが1 となる場合の数}}{\text{M=4 となる場合の数}} = \frac{18}{37}$

3. 最終的な答え

$\frac{18}{37}$