問題は3つのパートから構成されています。 (1) 7人（生徒4人、先生3人）の並び方に関する問題 (2) A地点からB地点への最短経路に関する問題 (3) 1から5までの数字が書かれたカード15枚から2枚引く確率に関する問題

1. 問題の内容

問題は3つのパートから構成されています。

(1) 7人（生徒4人、先生3人）の並び方に関する問題

(2) A地点からB地点への最短経路に関する問題

(3) 1から5までの数字が書かれたカード15枚から2枚引く確率に関する問題

2. 解き方の手順

(1)

(1-1) 生徒4人が隣り合う並び方を求める。生徒4人をひとまとめにして1人と考えると、先生3人と合わせて4人の並び方になる。その並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。さらに、生徒4人の並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。よって、生徒4人が隣り合う並び方は $24 \times 24 = 576$ 通り。

(1-2) 先生どうしが隣り合わない並び方を求める。まず生徒4人を並べる。その並び方は $4! = 24$ 通り。次に生徒の間と端の5箇所から3箇所を選んで先生を並べる。選び方は ${}_5 P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。よって、先生どうしが隣り合わない並び方は $24 \times 60 = 1440$ 通り。

(1-3) 生徒2人と先生2人を選ぶ選び方を求める。生徒4人から2人を選ぶ選び方は ${}_4 C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。先生3人から2人を選ぶ選び方は ${}_3 C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。よって、生徒2人と先生2人を選ぶ選び方は $6 \times 3 = 18$ 通り。

(1-4) 3人を選ぶとき、少なくとも1人が先生である選び方を求める。まず7人から3人を選ぶ選び方は ${}_7 C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。生徒だけを選ぶ選び方は ${}_4 C_3 = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$ 通り。少なくとも1人が先生である選び方は $35 - 4 = 31$ 通り。

(2)

(2-1) A地点からB地点への最短経路を求める。右に4回、上に3回移動する必要がある。よって、最短経路は ${}_7 C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

(2-2) P地点を通っていく最短経路を求める。A地点からP地点への最短経路は右に2回、上に1回移動する必要がある。よって、${}_3 C_2 = 3$ 通り。P地点からB地点への最短経路は右に2回、上に2回移動する必要がある。よって、${}_4 C_2 = 6$ 通り。したがって、P地点を通っていく最短経路は $3 \times 6 = 18$ 通り。

(3)

(3-1) 1枚だけ奇数である確率を求める。1から5までの数字が書かれたカードがそれぞれ3枚ずつあるので、奇数のカードは1, 3, 5がそれぞれ3枚ずつあり、合計9枚。偶数のカードは2, 4がそれぞれ3枚ずつあり、合計6枚。1枚だけ奇数である確率は、(奇数1枚、偶数1枚)の確率を計算する。全事象は ${}_{15} C_2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ 通り。奇数1枚、偶数1枚の選び方は $9 \times 6 = 54$ 通り。よって、確率は $\frac{54}{105} = \frac{18}{35}$。

(3-2) 少なくとも1枚が奇数である確率を求める。これは1から「2枚とも偶数」の確率を引けばよい。2枚とも偶数である確率は $\frac{{}_6 C_2}{{}_{15} C_2} = \frac{15}{105} = \frac{1}{7}$。よって、少なくとも1枚が奇数である確率は $1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$。

3. 最終的な答え

(1)

(1-1) アイウ = 576

(1-2) エオカキ = 1440

(1-3) クケ = 18

(1-4) コサ = 31

(2)

(2-1) シスセ = 35

(2-2) ソタ = 18

(3)

(3-1) チツ/テト = 18/35

(3-2) ナ/ニ = 6/7